integral of 1/(y^2-y^{-1)}

解

\int \frac{1}{y ^{2} - y ^{- 1}} d y

\frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{y ^{2} - y ^{- 1}} d y

簡素化

\frac{1}{y ^{2} - y ^{- 1}} : \frac{y}{y ^{3} - 1}

= \int \frac{y}{y ^{3} - 1} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{y}{y ^{3} - 1} : \frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )}

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} + \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y + \int \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y

\int \frac{1}{3 ( y - 1 )} d y = \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣

\int \frac{- y + 1}{3 ( y ^{2} + y + 1 )} d y = \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3}))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} ln ∣ y - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 y ^{2} + 4 y}{3} + 23 arctan (\frac{2 y + 1}{3})) + C