integral of (1-sqrt(x))/(1+\sqrt[4]{x)}

解

\int \frac{1 - x}{1 + 4 x} d x

x - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - 4 x - 4 4 x + \frac{4}{3} (4 x + 1)^{3} + 6 + C

解答ステップ

\int \frac{1 - x}{1 + 4 x} d x

拡張

\frac{1 - x}{1 + 4 x} : \frac{1}{1 + 4 x} - \frac{x}{1 + 4 x}

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{1 + 4 x} d x - \int \frac{x}{1 + 4 x} d x

\int \frac{1}{1 + 4 x} d x = 4 (\frac{( 1 + 4 x ) ^{3}}{3} - \frac{3 ( 1 + 4 x ) ^{2}}{2} + 3 (1 + 4 x) - ln 1 + 4 x)

\int \frac{x}{1 + 4 x} d x = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - x + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - 2 x + 4 4 x - 4 ln 4 x + 1

= 4 (\frac{( 1 + 4 x ) ^{3}}{3} - \frac{3 ( 1 + 4 x ) ^{2}}{2} + 3 (1 + 4 x) - ln 1 + 4 x) - (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - x + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - 2 x + 4 4 x - 4 ln 4 x + 1)

簡素化

4 (\frac{( 1 + 4 x ) ^{3}}{3} - \frac{3 ( 1 + 4 x ) ^{2}}{2} + 3 (1 + 4 x) - ln 1 + 4 x) - (\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - x + \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - 2 x + 4 4 x - 4 ln 4 x + 1) : x - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - 4 x - 4 4 x + \frac{4}{3} (4 x + 1)^{3} + 6

= x - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - 4 x - 4 4 x + \frac{4}{3} (4 x + 1)^{3} + 6

定数を解答に追加する

= x - \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{4}} - 4 x - 4 4 x + \frac{4}{3} (4 x + 1)^{3} + 6 + C