integral of (1-x)(e^{-x}+1)

解

\int (1 - x) (e^{- x} + 1) d x

- \frac{x ^{2}}{2} + x + e^{- x} x + C

解答ステップ

\int (1 - x) (e^{- x} + 1) d x

拡張

(1 - x) (e^{- x} + 1) : e^{- x} + 1 - e^{- x} x - x

= \int e^{- x} + 1 - e^{- x} x - x d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{- x} d x + \int 1 d x - \int e^{- x} x d x - \int x d x

\int e^{- x} d x = - e^{- x}

\int 1 d x = x

\int e^{- x} x d x = - e^{- x} x - e^{- x}

\int x d x = \frac{x ^{2}}{2}

= - e^{- x} + x - (- e^{- x} x - e^{- x}) - \frac{x ^{2}}{2}

簡素化

= - \frac{x ^{2}}{2} + x + e^{- x} x

定数を解答に追加する

= - \frac{x ^{2}}{2} + x + e^{- x} x + C