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Popular Trigonometria >

2cos^2(x)-cos(x)=2-sec(x)

Solução

2 cos^{2} (x) - cos (x) = 2 - sec (x)

Solução

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Graus

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

2 cos^{2} (x) - cos (x) = 2 - sec (x)

Subtrair

2 - sec (x)

de ambos os lados

2 cos^{2} (x) - cos (x) - 2 + sec (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 2 - cos (x) + sec (x) + 2 cos^{2} (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 2 - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) + 2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2}

2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

2 (\frac{1}{sec ( x )})^{2}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= 2 \cdot \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ^{2} ( x )}

Multiplicar os números:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

= - 2 - \frac{1}{sec ( x )} + sec (x) + \frac{2}{sec ^{2} ( x )}

- 2 - \frac{1}{sec ( x )} + \frac{2}{sec ^{2} ( x )} + sec (x) = 0

Usando o método de substituição

- 2 - \frac{1}{sec ( x )} + \frac{2}{sec ^{2} ( x )} + sec (x) = 0

Sea:

sec (x) = u

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0 : u = 2, u = - 1, u = 1

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

Multiplicar pelo mínimo múltiplo comum

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u = 0

Encontrar o mínimo múltiplo comum de

u, u^{2} : u^{2}

u, u^{2}

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

u

quanto em

u^{2}

= u^{2}

Multiplicar pelo mínimo múltiplo comum=

u^{2}

- 2 u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

- 2 u^{2} - \frac{1}{u} u^{2} + \frac{2}{u ^{2}} u^{2} + u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Simplificar

- \frac{1}{u} u^{2} : - u

- \frac{1}{u} u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Multiplicar:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= - \frac{u ^{2}}{u}

Eliminar o fator comum:

u

= - u

Simplificar

\frac{2}{u ^{2}} u^{2} : 2

\frac{2}{u ^{2}} u^{2}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ^{2}}{u ^{2}}

Eliminar o fator comum:

u^{2}

= 2

Simplificar

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Somar:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Simplificar

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Aplicar a regra

0 \cdot a = 0

= 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

Resolver

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0 : u = 2, u = - 1, u = 1

- 2 u^{2} - u + 2 + u^{3} = 0

Escrever na forma padrão

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2 = 0

Fatorar

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2 : (u - 2) (u + 1) (u - 1)

u^{3} - 2 u^{2} - u + 2

= (u^{3} - 2 u^{2}) + (- u + 2)

Fatorar

- 1

- u + 2

- (u - 2)

- u + 2

Fatorar o termo comum

- 1

= - (u - 2)

Fatorar

u^{2}

u^{3} - 2 u^{2}

u^{2} (u - 2)

u^{3} - 2 u^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - 2 u^{2}

Fatorar o termo comum

u^{2}

= u^{2} (u - 2)

= - (u - 2) + u^{2} (u - 2)

Fatorar o termo comum

u - 2

= (u - 2) (u^{2} - 1)

Fatorar

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Reescrever

1

como

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (u - 2) (u + 1) (u - 1)

(u - 2) (u + 1) (u - 1) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u - 2 = 0 or u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Resolver

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Mova

2

para o lado direito

u - 2 = 0

Adicionar

2

a ambos os lados

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplificar

u = 2

u = 2

Resolver

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

u = - 1

u = - 1

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

As soluções são

u = 2, u = - 1, u = 1

u = 2, u = - 1, u = 1

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 0

Tomar o(s) denominador(es) de

- 2 - \frac{1}{u} + \frac{2}{u ^{2}} + u

e comparar com zero

u = 0

Resolver

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Aplicar a regra

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 0

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = 2, u = - 1, u = 1

Substituir na equação

u = sec (x)

sec (x) = 2, sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = 2, sec (x) = - 1, sec (x) = 1

sec (x) = 2 : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = 2

Soluções gerais para

sec (x) = 2

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (x) = - 1 : x = π + 2 πn

sec (x) = - 1

Soluções gerais para

sec (x) = - 1

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

sec (x) = 1 : x = 2 πn

sec (x) = 1

Soluções gerais para

sec (x) = 1

sec (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Resolver

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn, x = 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin^4(x)-cos^4(x)= 1/2

sin^{4} (x) - cos^{4} (x) = \frac{1}{2}

solvefor x,y=tan(x)

so l v e f or x, y = tan (x)

sin(θ)=-2

sin (θ) = - 2

(cos(x/2))/2 =0

\frac{cos ( \frac{x}{2} )}{2} = 0

sin(2x)=cos(3x)

sin (2 x) = cos (3 x)