解答
9sin(x)=cos(x)−7
解答
x=−2.14734…+2πn,x=2π−0.77293…+2πn
+1
度数
x=−123.03388…∘+360∘n,x=315.71426…∘+360∘n求解步骤
9sin(x)=cos(x)−7
两边进行平方(9sin(x))2=(cos(x)−7)2
两边减去 (cos(x)−7)281sin2(x)−cos2(x)+14cos(x)−49=0
使用三角恒等式改写
−49−cos2(x)+14cos(x)+81sin2(x)
使用毕达哥拉斯恒等式: cos2(x)+sin2(x)=1sin2(x)=1−cos2(x)=−49−cos2(x)+14cos(x)+81(1−cos2(x))
化简 −49−cos2(x)+14cos(x)+81(1−cos2(x)):14cos(x)−82cos2(x)+32
−49−cos2(x)+14cos(x)+81(1−cos2(x))
乘开 81(1−cos2(x)):81−81cos2(x)
81(1−cos2(x))
使用分配律: a(b−c)=ab−aca=81,b=1,c=cos2(x)=81⋅1−81cos2(x)
数字相乘:81⋅1=81=81−81cos2(x)
=−49−cos2(x)+14cos(x)+81−81cos2(x)
化简 −49−cos2(x)+14cos(x)+81−81cos2(x):14cos(x)−82cos2(x)+32
−49−cos2(x)+14cos(x)+81−81cos2(x)
对同类项分组=−cos2(x)+14cos(x)−81cos2(x)−49+81
同类项相加:−cos2(x)−81cos2(x)=−82cos2(x)=−82cos2(x)+14cos(x)−49+81
数字相加/相减:−49+81=32=14cos(x)−82cos2(x)+32
=14cos(x)−82cos2(x)+32
=14cos(x)−82cos2(x)+32
32+14cos(x)−82cos2(x)=0
用替代法求解
32+14cos(x)−82cos2(x)=0
令:cos(x)=u32+14u−82u2=0
32+14u−82u2=0:u=−82−7+933,u=827+933
32+14u−82u2=0
改写成标准形式 ax2+bx+c=0−82u2+14u+32=0
使用求根公式求解
−82u2+14u+32=0
二次方程求根公式:
若 a=−82,b=14,c=32u1,2=2(−82)−14±142−4(−82)⋅32
u1,2=2(−82)−14±142−4(−82)⋅32
142−4(−82)⋅32=1833
142−4(−82)⋅32
使用法则 −(−a)=a=142+4⋅82⋅32
数字相乘:4⋅82⋅32=10496=142+10496
142=196=196+10496
数字相加:196+10496=10692=10692
10692质因数分解:22⋅35⋅11
10692
10692除以 210692=5346⋅2=2⋅5346
5346除以 25346=2673⋅2=2⋅2⋅2673
2673除以 32673=891⋅3=2⋅2⋅3⋅891
891除以 3891=297⋅3=2⋅2⋅3⋅3⋅297
297除以 3297=99⋅3=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅99
99除以 399=33⋅3=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3⋅33
33除以 333=11⋅3=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅11
2,3,11 都是质数，因此无法进一步因数分解=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅3⋅3⋅11
=22⋅35⋅11
=35⋅22⋅11
使用指数法则: ab+c=ab⋅ac=34⋅22⋅3⋅11
使用根式运算法则: nab=nanb=22343⋅11
使用根式运算法则: nan=a22=2=2343⋅11
使用根式运算法则: nam=anm34=324=32=32⋅23⋅11
整理后得=1833
u1,2=2(−82)−14±1833
将解分隔开u1=2(−82)−14+1833,u2=2(−82)−14−1833
u=2(−82)−14+1833:−82−7+933
2(−82)−14+1833
去除括号: (−a)=−a=−2⋅82−14+1833
数字相乘:2⋅82=164=−164−14+1833
使用分式法则: −ba=−ba=−164−14+1833
消掉 164−14+1833:82933−7
164−14+1833
分解 −14+1833:2(−7+933)
−14+1833
改写为=−2⋅7+2⋅933
因式分解出通项 2=2(−7+933)
=1642(−7+933)
约分:2=82−7+933
=−82933−7
=−82−7+933
u=2(−82)−14−1833:827+933
2(−82)−14−1833
去除括号: (−a)=−a=−2⋅82−14−1833
数字相乘:2⋅82=164=−164−14−1833
使用分式法则: −b−a=ba−14−1833=−(14+1833)=16414+1833
分解 14+1833:2(7+933)
14+1833
改写为=2⋅7+2⋅933
因式分解出通项 2=2(7+933)
=1642(7+933)
约分:2=827+933
二次方程组的解是:u=−82−7+933,u=827+933
u=cos(x)代回cos(x)=−82−7+933,cos(x)=827+933
cos(x)=−82−7+933,cos(x)=827+933
cos(x)=−82−7+933:x=arccos(−82−7+933)+2πn,x=−arccos(−82−7+933)+2πn
cos(x)=−82−7+933
使用反三角函数性质
cos(x)=−82−7+933
cos(x)=−82−7+933的通解cos(x)=−a⇒x=arccos(−a)+2πn,x=−arccos(−a)+2πnx=arccos(−82−7+933)+2πn,x=−arccos(−82−7+933)+2πn
x=arccos(−82−7+933)+2πn,x=−arccos(−82−7+933)+2πn
cos(x)=827+933:x=arccos(827+933)+2πn,x=2π−arccos(827+933)+2πn
cos(x)=827+933
使用反三角函数性质
cos(x)=827+933
cos(x)=827+933的通解cos(x)=a⇒x=arccos(a)+2πn,x=2π−arccos(a)+2πnx=arccos(827+933)+2πn,x=2π−arccos(827+933)+2πn
x=arccos(827+933)+2πn,x=2π−arccos(827+933)+2πn
合并所有解x=arccos(−82−7+933)+2πn,x=−arccos(−82−7+933)+2πn,x=arccos(827+933)+2πn,x=2π−arccos(827+933)+2πn
将解代入原方程进行验证
将它们代入 9sin(x)=cos(x)−7检验解是否符合
去除与方程不符的解。
检验 arccos(−82−7+933)+2πn的解:假
arccos(−82−7+933)+2πn
代入 n=1arccos(−82−7+933)+2π1
对于 9sin(x)=cos(x)−7代入x=arccos(−82−7+933)+2π19sin(arccos(−82−7+933)+2π1)=cos(arccos(−82−7+933)+2π1)−7
整理后得7.54513…=−7.54513…
⇒假
检验 −arccos(−82−7+933)+2πn的解:真
−arccos(−82−7+933)+2πn
代入 n=1−arccos(−82−7+933)+2π1
对于 9sin(x)=cos(x)−7代入x=−arccos(−82−7+933)+2π19sin(−arccos(−82−7+933)+2π1)=cos(−arccos(−82−7+933)+2π1)−7
整理后得−7.54513…=−7.54513…
⇒真
检验 arccos(827+933)+2πn的解:假
arccos(827+933)+2πn
代入 n=1arccos(827+933)+2π1
对于 9sin(x)=cos(x)−7代入x=arccos(827+933)+2π19sin(arccos(827+933)+2π1)=cos(arccos(827+933)+2π1)−7
整理后得6.28413…=−6.28413…
⇒假
检验 2π−arccos(827+933)+2πn的解:真
2π−arccos(827+933)+2πn
代入 n=12π−arccos(827+933)+2π1
对于 9sin(x)=cos(x)−7代入x=2π−arccos(827+933)+2π19sin(2π−arccos(827+933)+2π1)=cos(2π−arccos(827+933)+2π1)−7
整理后得−6.28413…=−6.28413…
⇒真
x=−arccos(−82−7+933)+2πn,x=2π−arccos(827+933)+2πn
以小数形式表示解x=−2.14734…+2πn,x=2π−0.77293…+2πn