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Beliebt Trigonometrie >

8sin(t)+8cos(t)=8

Lösung

8 sin (t) + 8 cos (t) = 8

Lösung

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = 2 πn

Grad

t = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, t = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

8 sin (t) + 8 cos (t) = 8

Subtrahiere

8 cos (t)

von beiden Seiten

8 sin (t) = 8 - 8 cos (t)

Quadriere beide Seiten

(8 sin (t))^{2} = (8 - 8 cos (t))^{2}

Subtrahiere

(8 - 8 cos (t))^{2}

von beiden Seiten

64 sin^{2} (t) - 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) + 64 sin^{2} (t)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) + 64 (1 - cos^{2} (t))

Vereinfache

- 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) + 64 (1 - cos^{2} (t)) : 128 cos (t) - 128 cos^{2} (t)

- 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) + 64 (1 - cos^{2} (t))

Multipliziere aus

64 (1 - cos^{2} (t)) : 64 - 64 cos^{2} (t)

64 (1 - cos^{2} (t))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 64, b = 1, c = cos^{2} (t)

= 64 \cdot 1 - 64 cos^{2} (t)

Multipliziere die Zahlen:

64 \cdot 1 = 64

= 64 - 64 cos^{2} (t)

= - 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) + 64 - 64 cos^{2} (t)

Vereinfache

- 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) + 64 - 64 cos^{2} (t) : 128 cos (t) - 128 cos^{2} (t)

- 64 + 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) + 64 - 64 cos^{2} (t)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 128 cos (t) - 64 cos^{2} (t) - 64 cos^{2} (t) - 64 + 64

Addiere gleiche Elemente:

- 64 cos^{2} (t) - 64 cos^{2} (t) = - 128 cos^{2} (t)

= 128 cos (t) - 128 cos^{2} (t) - 64 + 64

- 64 + 64 = 0

= 128 cos (t) - 128 cos^{2} (t)

= 128 cos (t) - 128 cos^{2} (t)

= 128 cos (t) - 128 cos^{2} (t)

128 cos (t) - 128 cos^{2} (t) = 0

Löse mit Substitution

128 cos (t) - 128 cos^{2} (t) = 0

Angenommen:

cos (t) = u

128 u - 128 u^{2} = 0

128 u - 128 u^{2} = 0 : u = 0, u = 1

128 u - 128 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 128 u^{2} + 128 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 128 u^{2} + 128 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 128, b = 128, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 128 \pm 12 8 ^{2} - 4 ( - 128 ) \cdot 0}{2 ( - 128 )}

u_{1, 2} = \frac{- 128 \pm 12 8 ^{2} - 4 ( - 128 ) \cdot 0}{2 ( - 128 )}

12 8^{2} - 4 (- 128) \cdot 0 = 128

12 8^{2} - 4 (- 128) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= 12 8^{2} + 4 \cdot 128 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 12 8^{2} + 0

12 8^{2} + 0 = 12 8^{2}

= 12 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 128

u_{1, 2} = \frac{- 128 \pm 128}{2 ( - 128 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 128 + 128}{2 ( - 128 )}, u_{2} = \frac{- 128 - 128}{2 ( - 128 )}

u = \frac{- 128 + 128}{2 ( - 128 )} : 0

\frac{- 128 + 128}{2 ( - 128 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 128 + 128}{- 2 \cdot 128}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 128 + 128 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 128}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 128 = 256

= \frac{0}{- 256}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{256}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 128 - 128}{2 ( - 128 )} : 1

\frac{- 128 - 128}{2 ( - 128 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 128 - 128}{- 2 \cdot 128}

Subtrahiere die Zahlen:

- 128 - 128 = - 256

= \frac{- 256}{- 2 \cdot 128}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 128 = 256

= \frac{- 256}{- 256}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{256}{256}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 0, u = 1

Setze in

u = cos (t)

ein

cos (t) = 0, cos (t) = 1

cos (t) = 0, cos (t) = 1

cos (t) = 0 : t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (t) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (t) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (t) = 1 : t = 2 πn

cos (t) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (t) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

t = 0 + 2 πn

t = 0 + 2 πn

Löse

t = 0 + 2 πn : t = 2 πn

t = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

t = 2 πn

t = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = \frac{3 π}{2} + 2 πn, t = 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

8 sin (t) + 8 cos (t) = 8

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

t = \frac{π}{2} + 2 π 1

8 sin (t) + 8 cos (t) = 8

ein, um zu lösen

8 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 8 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 8

Fasse zusammen

8 = 8

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

t = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

8 sin (t) + 8 cos (t) = 8

ein, um zu lösen

8 sin (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + 8 cos (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 8

Fasse zusammen

- 8 = 8

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

t = 2 π 1

8 sin (t) + 8 cos (t) = 8

ein, um zu lösen

8 sin (2 π 1) + 8 cos (2 π 1) = 8

Fasse zusammen

8 = 8

\Rightarrow Wahr

t = \frac{π}{2} + 2 πn, t = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin(pi/3 x)=2

5 sin (\frac{π}{3} x) = 2

4cos^2(x)-5cos(x)+1=0

4 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 = 0

cos(x+60)=sin(x)

cos (x + 6 0^{\circ}) = sin (x)

csc^2(x)=2cot^2(x)

csc^{2} (x) = 2 cot^{2} (x)

2sin^2(x)+sin(2x)=0

2 sin^{2} (x) + sin (2 x) = 0