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Beliebt Trigonometrie >

20cos^6(x)-57cos^4(x)+27cos^2(x)=0

Lösung

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 39.23152 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 320.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

Schreibe die Gleichung um mit

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

und

v^{3} = u^{6}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Löse

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0 : v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Faktorisiere

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v : v (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Klammere gleiche Terme aus

v : v (20 v^{2} - 57 v + 27)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 v^{2} v - 57 vv + 27 v

Klammere gleiche Terme aus

v

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

Faktorisiere

20 v^{2} - 57 v + 27 : (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{2} - 57 v + 27

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

20 v^{2} - 57 v + 27

Definition

Faktoren von

540 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

540

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

540 : 2, 2, 3, 3, 3, 5

540

540

ist durch

2540 = 270 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 270

270

ist durch

2270 = 135 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 135

135

ist durch

3135 = 45 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 45

45

ist durch

345 = 15 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15

15

ist durch

315 = 5 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multipliziere die Primfaktoren von

540 : 4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3, 5

Addiere 1 und die Zahl

540

selbst

1, 540

Die Faktoren von

540

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

Negative Faktoren von

540 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 540,

prüfe, ob

u + v = - 57

Prüfe

u = 1, v = 540 : u * v = 540, u + v = 541 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = 270 : u * v = 540, u + v = 272 \Rightarrow

Falsch

u = - 12, v = - 45

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

= (20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

Klammere

4 v

aus

20 v^{2} - 12 v

aus

: 4 v (5 v - 3)

20 v^{2} - 12 v

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 vv - 12 v

Schreibe

12

um:

4 \cdot 3

Schreibe

20

um:

4 \cdot 5

= 4 \cdot 5 vv - 4 \cdot 3 v

Klammere gleiche Terme aus

4 v

= 4 v (5 v - 3)

Klammere

- 9

aus

- 45 v + 27

aus

: - 9 (5 v - 3)

- 45 v + 27

Schreibe

27

um:

9 \cdot 3

Schreibe

45

um:

9 \cdot 5

= - 9 \cdot 5 v + 9 \cdot 3

Klammere gleiche Terme aus

- 9

= - 9 (5 v - 3)

= 4 v (5 v - 3) - 9 (5 v - 3)

Klammere gleiche Terme aus

5 v - 3

= (5 v - 3) (4 v - 9)

= v (5 v - 3) (4 v - 9)

v (5 v - 3) (4 v - 9) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

v = 0 or 5 v - 3 = 0 or 4 v - 9 = 0

Löse

5 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{5}

5 v - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

5 v - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

5 v - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

5 v = 3

5 v = 3

Teile beide Seiten durch

5

5 v = 3

Teile beide Seiten durch

5

\frac{5 v}{5} = \frac{3}{5}

Vereinfache

v = \frac{3}{5}

v = \frac{3}{5}

Löse

4 v - 9 = 0 : v = \frac{9}{4}

4 v - 9 = 0

Verschiebe

9

auf die rechte Seite

4 v - 9 = 0

Füge

9

zu beiden Seiten hinzu

4 v - 9 + 9 = 0 + 9

Vereinfache

4 v = 9

4 v = 9

Teile beide Seiten durch

4

4 v = 9

Teile beide Seiten durch

4

\frac{4 v}{4} = \frac{9}{4}

Vereinfache

v = \frac{9}{4}

v = \frac{9}{4}

Die Lösungen sind

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

Setze

v = u^{2} w i e d er e in,

löse für

u

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Löse

u^{2} = \frac{3}{5} : u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

u^{2} = \frac{3}{5}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

Löse

u^{2} = \frac{9}{4} : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{9}{4}

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = \frac{9}{4}, u = - \frac{9}{4}

\frac{9}{4} = \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

- \frac{9}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{9}{4}

Vereinfache

\frac{9}{4} : \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Die Lösungen sind

u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(w)-3sin(w)+1=0

2 sin^{2} (w) - 3 sin (w) + 1 = 0

2+sin(x)=5sin(x)

2 + sin (x) = 5 sin (x)

2cos(θ)+5=0

2 cos (θ) + 5 = 0

sin(x)cos(x)=cos(x)

sin (x) cos (x) = cos (x)

2cos(2θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

2 cos (2 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π