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Beliebt Trigonometrie >

20cos^2(x)-cos(x)-1=0

Lösung

20 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 1.31811 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn, x = 1.77215 \dots + 2 πn, x = - 1.77215 \dots + 2 πn

Grad

x = 75.52248 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 284.47751 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 101.53695 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 101.53695 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

20 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

20 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

20 u^{2} - u - 1 = 0

20 u^{2} - u - 1 = 0 : u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{5}

20 u^{2} - u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

20 u^{2} - u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 20, b = - 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 20 ( - 1 )}{2 \cdot 20}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 20 ( - 1 )}{2 \cdot 20}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 20 (- 1) = 9

(- 1)^{2} - 4 \cdot 20 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 20 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 20 \cdot 1 = 80

4 \cdot 20 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 20 \cdot 1 = 80

= 80

= 1 + 80

Addiere die Zahlen:

1 + 80 = 81

= 81

Faktorisiere die Zahl:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 9}{2 \cdot 20}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 20}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 20}

u = \frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 20} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 9}{2 \cdot 20}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 9}{2 \cdot 20}

Addiere die Zahlen:

1 + 9 = 10

= \frac{10}{2 \cdot 20}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{10}{40}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

10

= \frac{1}{4}

u = \frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 20} : - \frac{1}{5}

\frac{- ( - 1 ) - 9}{2 \cdot 20}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 9}{2 \cdot 20}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 9 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 20}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 20 = 40

= \frac{- 8}{40}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{40}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

8

= - \frac{1}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4}, u = - \frac{1}{5}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{4}, cos (x) = - \frac{1}{5}

cos (x) = \frac{1}{4}, cos (x) = - \frac{1}{5}

cos (x) = \frac{1}{4} : x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{5} : x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{1}{5}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{1}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{1}{4}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{1}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.31811 \dots + 2 πn, x = 2 π - 1.31811 \dots + 2 πn, x = 1.77215 \dots + 2 πn, x = - 1.77215 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cot(x)-tan(x)+6=8-tan(x)

2 cot (x) - tan (x) + 6 = 8 - tan (x)

solvefor x,2sin(x)+1=0

so l v e f or x, 2 sin (x) + 1 = 0

8tan(3x)=8

8 tan (3 x) = 8

2-cos(θ)=2sin^2(θ)

2 - cos (θ) = 2 sin^{2} (θ)

tan(2x-pi/6)=1,0<= x<= 2pi

tan (2 x - \frac{π}{6}) = 1, 0 \leq x \leq 2 π