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受欢迎的三角函数 >

cos(2x)=2sin(x)

解答

cos (2 x) = 2 sin (x)

解答

x = 0.37473 \dots + 2 πn, x = π - 0.37473 \dots + 2 πn

+1

度数

x = 21.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 158.52929 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

求解步骤

cos (2 x) = 2 sin (x)

两边减去

2 sin (x)

cos (2 x) - 2 sin (x) = 0

使用三角恒等式改写

cos (2 x) - 2 sin (x)

使用倍角公式:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - 2 sin^{2} (x) - 2 sin (x)

1 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

用替代法求解

1 - 2 sin (x) - 2 sin^{2} (x) = 0

令

: sin (x) = u

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{3 - 1}{2}

1 - 2 u - 2 u^{2} = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

使用求根公式求解

- 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

二次方程求根公式:

若

a = - 2, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 23

(- 2)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

使用法则

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 2^{2} + 8

2^{2} = 4

= 4 + 8

数字相加:

4 + 8 = 12

= 12

12

质因数分解:

2^{2} \cdot 3

12

12

除以

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

使用根式运算法则:

n ab = n a n b

= 3 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 3}{2 ( - 2 )}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 2 ) + 2 3}{2 ( - 2 )}

去除括号:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 3}{- 2 \cdot 2}

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 + 2 3}{- 4}

使用分式法则:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 3}{4}

消掉

\frac{2 + 2 3}{4} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{2 + 2 3}{4}

分解

2 + 23 : 2 (1 + 3)

2 + 23

改写为

= 2 \cdot 1 + 23

因式分解出通项

2

= 2 (1 + 3)

= \frac{2 ( 1 + 3 )}{4}

约分:

2

= \frac{1 + 3}{2}

= - \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )} : \frac{3 - 1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 2 3}{2 ( - 2 )}

去除括号:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 3}{- 2 \cdot 2}

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 - 2 3}{- 4}

使用分式法则:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 23 = - (23 - 2)

= \frac{2 3 - 2}{4}

分解

23 - 2 : 2 (3 - 1)

23 - 2

改写为

= 23 - 2 \cdot 1

因式分解出通项

2

= 2 (3 - 1)

= \frac{2 ( 3 - 1 )}{4}

约分:

2

= \frac{3 - 1}{2}

二次方程组的解是:

u = - \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{3 - 1}{2}

u = sin (x)

代回

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}, sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}, sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2} :

无解

sin (x) = - \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

无解

sin (x) = \frac{3 - 1}{2} : x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

使用反三角函数性质

sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

sin (x) = \frac{3 - 1}{2}

的通解

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

合并所有解

x = arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{3 - 1}{2}) + 2 πn

以小数形式表示解

x = 0.37473 \dots + 2 πn, x = π - 0.37473 \dots + 2 πn

作图

流行的例子

sin(θ)tan(θ)-sqrt(3)sin(θ)=0

sin (θ) tan (θ) - 3 sin (θ) = 0

5sqrt(3)tan(x)-5=0

53 tan (x) - 5 = 0

2cos(2θ)+4cos(θ)+2=-1

2 cos (2 θ) + 4 cos (θ) + 2 = - 1

2cos(2x+(3pi)/2)=sqrt(3)

2 cos (2 x + \frac{3 π}{2}) = 3

3sin(x)+2cos(x)=0

3 sin (x) + 2 cos (x) = 0