English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

4sin(x)+3cos(x)=2

Lösung

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

Lösung

x = 2.08657 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.23198 \dots + 2 πn

Grad

x = 119.55192 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 346.70828 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

Subtrahiere

3 cos (x)

von beiden Seiten

4 sin (x) = 2 - 3 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(4 sin (x))^{2} = (2 - 3 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(2 - 3 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

16 sin^{2} (x) - 4 + 12 cos (x) - 9 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + 12 cos (x) + 16 sin^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 4 + 12 cos (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 4 + 12 cos (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x) : 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 12

- 4 + 12 cos (x) + 16 (1 - cos^{2} (x)) - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere aus

16 (1 - cos^{2} (x)) : 16 - 16 cos^{2} (x)

16 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 16, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 16 \cdot 1 - 16 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

16 \cdot 1 = 16

= 16 - 16 cos^{2} (x)

= - 4 + 12 cos (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 4 + 12 cos (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) : 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 12

- 4 + 12 cos (x) + 16 - 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x)

Addiere gleiche Elemente:

- 16 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 25 cos^{2} (x)

= - 4 + 12 cos (x) + 16 - 25 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) - 4 + 16

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 4 + 16 = 12

= 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 12

= 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 12

= 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) + 12

12 + 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

12 + 12 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

12 + 12 u - 25 u^{2} = 0

12 + 12 u - 25 u^{2} = 0 : u = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}, u = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

12 + 12 u - 25 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 25 u^{2} + 12 u + 12 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 25 u^{2} + 12 u + 12 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 25, b = 12, c = 12

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 12}{2 ( - 25 )}

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 ( - 25 ) \cdot 12}{2 ( - 25 )}

1 2^{2} - 4 (- 25) \cdot 12 = 821

1 2^{2} - 4 (- 25) \cdot 12

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 2^{2} + 4 \cdot 25 \cdot 12

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 25 \cdot 12 = 1200

= 1 2^{2} + 1200

1 2^{2} = 144

= 144 + 1200

Addiere die Zahlen:

144 + 1200 = 1344

= 1344

Primfaktorzerlegung von

1344 : 2^{6} \cdot 3 \cdot 7

1344

1344

ist durch

21344 = 672 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 672

672

ist durch

2672 = 336 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 336

336

ist durch

2336 = 168 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 168

168

ist durch

2168 = 84 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 84

84

ist durch

284 = 42 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 42

42

ist durch

242 = 21 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3 \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{6} 3 \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 3 \cdot 7

Fasse zusammen

= 821

u_{1, 2} = \frac{- 12 \pm 8 21}{2 ( - 25 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 12 + 8 21}{2 ( - 25 )}, u_{2} = \frac{- 12 - 8 21}{2 ( - 25 )}

u = \frac{- 12 + 8 21}{2 ( - 25 )} : - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}

\frac{- 12 + 8 21}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 12 + 8 21}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 12 + 8 21}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 12 + 8 21}{50}

Streiche

\frac{- 12 + 8 21}{50} : \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}

\frac{- 12 + 8 21}{50}

Faktorisiere

- 12 + 821 : 4 (- 3 + 221)

- 12 + 821

Schreibe um

= - 4 \cdot 3 + 4 \cdot 221

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (- 3 + 221)

= \frac{4 ( - 3 + 2 21 )}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}

= - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}

u = \frac{- 12 - 8 21}{2 ( - 25 )} : \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

\frac{- 12 - 8 21}{2 ( - 25 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 12 - 8 21}{- 2 \cdot 25}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 25 = 50

= \frac{- 12 - 8 21}{- 50}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 12 - 821 = - (12 + 821)

= \frac{12 + 8 21}{50}

Faktorisiere

12 + 821 : 4 (3 + 221)

12 + 821

Schreibe um

= 4 \cdot 3 + 4 \cdot 221

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (3 + 221)

= \frac{4 ( 3 + 2 21 )}{50}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}, u = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}, cos (x) = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

cos (x) = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}, cos (x) = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

cos (x) = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25} : x = arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25} : x = arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn

cos (x) = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn

x = arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn, x = arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1) + 3 cos (arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (- arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1) + 3 cos (- arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

- 4.95927 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1) + 3 cos (arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

3.83927 \dots = 2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

ein, um zu lösen

4 sin (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1) + 3 cos (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 π 1) = 2

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

x = arccos (- \frac{2 ( 2 21 - 3 )}{25}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 + 2 21 )}{25}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.08657 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.23198 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(x)+7tan(x)-9=0

sec^{2} (x) + 7 tan (x) - 9 = 0

sin(x)=-0.6

sin (x) = - 0.6

5+2sin^2(x)=3sin(x)+4

5 + 2 sin^{2} (x) = 3 sin (x) + 4

sin^2(2x)+cos(2x)=1

sin^{2} (2 x) + cos (2 x) = 1

sin(pi/x)=0

sin (\frac{π}{x}) = 0