English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

prove 1/(1-tan^2(θ))+1/(1-cot^2(θ))=1

פתרון

prove

\frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )} = 1

פתרון

נכון

צעדי פתרון

\frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )} = 1

עבוד על אגף שמאל

\frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )}

sin, cos :

בטא באמצאות

\frac{1}{1 - cot ^{2} ( θ )} + \frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )}

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - tan ^{2} ( θ )}

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= \frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} = 1

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} + \frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{1 - ( \frac{c o s ( θ )}{s i n ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1}{1 - \frac{c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

אחד את:

\frac{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 = \frac{1 sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} - \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

1 \cdot sin^{2} (θ) = sin^{2} (θ) :

הכפל

= \frac{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{s i n ^{2} ( θ ) - c o s ^{2} ( θ )}{s i n ^{2} ( θ )}}

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )}

\frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

\frac{1}{1 - ( \frac{s i n ( θ )}{c o s ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1}{1 - \frac{s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

אחד את:

\frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} - \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ) :

הכפל

= \frac{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{c o s ^{2} ( θ ) - s i n ^{2} ( θ )}{c o s ^{2} ( θ )}}

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ ) - cos ^{2} ( θ )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

פרק לגורמים את:

(sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ)

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

sin^{2} (θ) - cos^{2} (θ) = (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

= (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - sin ^{2} ( θ )}

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

פרק לגורמים את:

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}

(sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ)), (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

הכפולה המשותפת המינימלית של:

- (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

(sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ)), (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

Lowest Common Multiplier (LCM)

cos (θ) - sin (θ) = - (sin (θ) - cos (θ))

= (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ)), - (cos (θ) + sin (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

Compute an expression comprised of factors that appear either in

(sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= - (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

- (sin (θ) + cos (θ)) (sin (θ) - cos (θ))

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

- 1

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

עבור

\frac{sin ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} = \frac{sin ^{2} ( θ ) ( - 1 )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) ) ( - 1 )} = \frac{- sin ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

= \frac{- sin ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )} + \frac{cos ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

צמצם את:

- 1

\frac{- sin ^{2} ( θ ) + cos ^{2} ( θ )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ) = (cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

= \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

\frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

צמצם את:

- 1

\frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( sin ( θ ) - cos ( θ ) )}

sin (θ) - cos (θ) = - (cos (θ) - sin (θ))

= \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{- ( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}

פשט

= - \frac{( cos ( θ ) + sin ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}{( sin ( θ ) + cos ( θ ) ) ( cos ( θ ) - sin ( θ ) )}

cos (θ) + sin (θ) :

בטל את הגורמים המשותפים

= - \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) - sin ( θ )}

cos (θ) - sin (θ) :

בטל את הגורמים המשותפים

= - 1

= - 1

= - (- 1)

- (- a) = a

הפעל את החוק

= 1

= 1

= 1

הראנו ששני האגפים יכולים להיות מאותה הצורה

\Rightarrow נכון

דוגמאות פופולריות

prove (sec^2(x)-6tan(x)+7)/(sec^2(x)-5)=(tan(x)-4)/(tan(x)+2)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( x ) - 6 tan ( x ) + 7}{sec ^{2} ( x ) - 5} = \frac{tan ( x ) - 4}{tan ( x ) + 2}

prove 1-cos(x)=2sin^2(x/2)

p ro v e 1 - cos (x) = 2 sin^{2} (\frac{x}{2})

prove cos(3A)=4cos^3(A)-3cos(A)

p ro v e cos (3 A) = 4 cos^{3} (A) - 3 cos (A)

prove cos(3θ)=cos^3(θ)-3sin^2(θ)cos(θ)

p ro v e cos (3 θ) = cos^{3} (θ) - 3 sin^{2} (θ) cos (θ)

prove cos^2(B)-sin^2(B)=2cos^2(B)-1

p ro v e cos^{2} (B) - sin^{2} (B) = 2 cos^{2} (B) - 1