証明する 1/(cos^2(θ))=tan^2(θ)+1

解

証明する

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = tan^{2} (θ) + 1

真

解答ステップ

\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} = tan^{2} (θ) + 1

右側を操作する

tan^{2} (θ) + 1

サイン, コサインで表わす

1 + tan^{2} (θ)

基本的な三角関数の公式を使用する:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= 1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

簡素化

1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2} : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

1 + (\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

乗算:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真