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人気のある三角関数 >

証明する (sec^2(θ)-1)(sin^2(θ)-1)=-sin^2(θ)

解

証明する

(sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1) = - sin^{2} (θ)

解

真

解答ステップ

(sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1) = - sin^{2} (θ)

左側を操作する

(sec^{2} (θ) - 1) (sin^{2} (θ) - 1)

サイン, コサインで表わす

(- 1 + sec^{2} (θ)) (- 1 + sin^{2} (θ))

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (- 1 + sin^{2} (θ))

簡素化

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (- 1 + sin^{2} (θ)) : \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) ( - 1 + sin ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (- 1 + sin^{2} (θ))

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= (\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} - 1) (sin^{2} (θ) - 1)

結合

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

元を分数に変換する:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

乗算:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )} (sin^{2} (θ) - 1)

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) ( - 1 + sin ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( - cos ^{2} ( θ ) + 1 ) ( - 1 + sin ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - cos ^{2} ( θ ) )}{cos ^{2} ( θ )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )}

簡素化

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )} : - sin^{2} (θ)

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )}

キャンセル

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )} : - (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1)

\frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{1 - sin ^{2} ( θ )}

- sin^{2} (θ) + 1 = - (sin^{2} (θ) - 1)

= \frac{( sin ^{2} ( θ ) - 1 ) ( - ( - sin ^{2} ( θ ) + 1 ) + 1 )}{- ( sin ^{2} ( θ ) - 1 )}

改良

= - \frac{( - 1 + sin ^{2} ( θ ) ) ( 1 - ( 1 - sin ^{2} ( θ ) ) )}{sin ^{2} ( θ ) - 1}

共通因数を約分する:

- 1 + sin^{2} (θ)

= - (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1)

= - (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1)

否定

- (- (- sin^{2} (θ) + 1) + 1) = (- sin^{2} (θ) + 1) - 1

= (- sin^{2} (θ) + 1) - 1

改良

= - sin^{2} (θ)

= - sin^{2} (θ)

= - sin^{2} (θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する csc(θ)=(tan(θ)cot(θ))/(sin(θ))

p ro v e csc (θ) = \frac{tan ( θ ) cot ( θ )}{sin ( θ )}

証明する cot^2(x)-cos^2(x)=cot^2(x)cot(x)

p ro v e cot^{2} (x) - cos^{2} (x) = cot^{2} (x) cot (x)

証明する cos(θ)=-(sqrt(3))/4

p ro v e cos (θ) = - \frac{3}{4}

証明する sin(75)=sin(150/2)

p ro v e sin (75) = sin (\frac{150}{2})

証明する sec(θ)+1=(cos(θ)+1)/(cos(θ))

p ro v e sec (θ) + 1 = \frac{cos ( θ ) + 1}{cos ( θ )}