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beweisen (cot(x))/(csc(x)-sin(x))=sec(x)

Lösung

beweisen

\frac{cot ( x )}{csc ( x ) - sin ( x )} = sec (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{cot ( x )}{csc ( x ) - sin ( x )} = sec (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{cot ( x )}{csc ( x ) - sin ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cot ( x )}{csc ( x ) - sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{csc ( x ) - sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )} - sin ( x )}

Vereinfache

\frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )} - sin ( x )} : \frac{cos ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

\frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ( x )} - sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x ) ( \frac{1}{s i n ( x )} - sin ( x ) )}

Füge

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

zusammen:

\frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} - sin (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} - \frac{sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( x ) sin ( x )}{sin ( x )}

1 - sin (x) sin (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin (x) sin (x)

sin (x) sin (x) = sin^{2} (x)

sin (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{\frac{- s i n ^{2} ( x ) + 1}{s i n ( x )} sin ( x )}

Multipliziere

sin (x) \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )} : 1 - sin^{2} (x)

sin (x) \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - sin ^{2} ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{cos ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{cos ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec (x)

sec (x)

sec (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x) = 5 cos (x)

p ro v e \frac{sin ( 3 x ) + sin ( 5 x )}{cos ( 3 x ) - cos ( 5 x )} = cot (x)

p ro v e \frac{1}{sin ( x ) - sin ( x ) cos ( x )} = csc (x)

p ro v e sin (a) csc (a) = 1

p ro v e cos^{2} (θ) = \frac{( 1 + cos ( 2 θ ) )}{2}