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provar 2sin^2(x/2)+4cos^2(x/2)-3=cos(x)

Solução

provar

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Verdadeiro

Passos da solução

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Sea:

u = \frac{x}{2}

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

Provar

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u) :

Verdadeiro

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3 = cos (2 u)

Manipular o lado direito

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

Reeecreva usando identidades trigonométricas

2 sin^{2} (u) + 4 cos^{2} (u) - 3

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

Simplificar

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 (1 - sin^{2} (u)) - 3

Expandir

4 (1 - sin^{2} (u)) : 4 - 4 sin^{2} (u)

4 (1 - sin^{2} (u))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (u)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (u)

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (u)

= 2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

Simplificar

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3 : - 2 sin^{2} (u) + 1

2 sin^{2} (u) + 4 - 4 sin^{2} (u) - 3

Agrupar termos semelhantes

= 2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) + 4 - 3

Somar elementos similares:

2 sin^{2} (u) - 4 sin^{2} (u) = - 2 sin^{2} (u)

= - 2 sin^{2} (u) + 4 - 3

Somar/subtrair:

4 - 3 = 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

= - 2 sin^{2} (u) + 1

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 u)

= cos (2 u)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Portanto

2 sin^{2} (\frac{x}{2}) + 4 cos^{2} (\frac{x}{2}) - 3 = cos (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e tan (2 u) = \frac{( 2 tan ( u ) )}{1 - tan ^{2} ( u )}

p ro v e \frac{1}{- sin ( x )} = sec (x) tan (x)

p ro v e 6 cos (θ) = 6 cos (- θ)

p ro v e \frac{( tan ( 2 x ) + cot ( 2 x ) )}{csc ( 2 x )} = sec (2 x)

p ro v e (cos (θ) - sin (θ))^{2} = 1