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Beliebt Trigonometrie >

3cos^2(x)+5cos(x)-2<0

Lösung

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Lösung

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Intervall-Notation

(arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn, 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn)

Dezimale

1.23095 \dots + 2 πn < x < 5.05222 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

3 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 < 0

Angenommen:

u = cos (x)

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0 : - 2 < u < \frac{1}{3}

3 u^{2} + 5 u - 2 < 0

Faktorisiere

3 u^{2} + 5 u - 2 : (3 u - 1) (u + 2)

3 u^{2} + 5 u - 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

3 u^{2} + 5 u - 2

Definition

Faktoren von

6 : 1, 2, 3, 6

6

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

6 : 2, 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

6

selbst

1, 6

Die Faktoren von

6

1, 2, 3, 6

Negative Faktoren von

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 6

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 6,

prüfe, ob

u + v = 5

Prüfe

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Falsch

u = 6, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

= (3 u^{2} - u) + (6 u - 2)

Klammere

u

aus

3 u^{2} - u

aus

: u (3 u - 1)

3 u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 3 uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (3 u - 1)

Klammere

2

aus

6 u - 2

aus

: 2 (3 u - 1)

6 u - 2

Schreibe

6

um:

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 u - 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (3 u - 1)

= u (3 u - 1) + 2 (3 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

3 u - 1

= (3 u - 1) (u + 2)

(3 u - 1) (u + 2) < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(3 u - 1) (u + 2)

Finde die Vorzeichen von

3 u - 1

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

3 u = 1

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u = 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

Vereinfache

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

3 u < 1

3 u < 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u < 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

Vereinfache

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

3 u > 1

3 u > 1

Teile beide Seiten durch

3

3 u > 1

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

Vereinfache

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

Finde die Vorzeichen von

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 < 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 < 0 - 2

Vereinfache

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 > 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 > 0 - 2

Vereinfache

u > - 2

u > - 2

Fasse in einer Tabelle zusammen:

3 u - 1 u + 2 (3 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{3} - + - u = \frac{1}{3} 0 + 0 u > \frac{1}{3} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

- 2 < u < \frac{1}{3}

Setze in

u = cos (x)

ein

- 2 < cos (x) < \frac{1}{3}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- 2 < cos (x) and cos (x) < \frac{1}{3}

- 2 < cos (x) :

Wahr für alle

x \in R

- 2 < cos (x)

Tausche die Seiten

cos (x) > - 2

Bereich von

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

cos

function is

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) > - 2 and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Angenommen

y = cos (x)

Kombiniere die Bereiche

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y > - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y > - 2

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

cos (x) < \frac{1}{3} : arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) < \frac{1}{3}

Für

cos (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn < x < 2 π - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos(x)<= 1/2

cos (x) \leq \frac{1}{2}

1+cos(2t)>= 0

1 + cos (2 t) \geq 0

15cos(pi/(15)x-(2pi)/3)+95<= 105

15 cos (\frac{π}{15} x - \frac{2 π}{3}) + 95 \leq 105

sin(θ)>0,sec(θ)<0

sin (θ) > 0, sec (θ) < 0

arctan(x)>0

arctan (x) > 0