English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

Решение

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

Решение

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Обозначение интервала

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

десятичными цифрами

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

Шаги решения

2 sin^{2} (x) - 3 sin (x) + 1 \leq 0

Допустим:

u = sin (x)

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{2} \leq u \leq 1

2 u^{2} - 3 u + 1 \leq 0

коэффициент

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Разбейте выражение на группы

2 u^{2} - 3 u + 1

Определение

Множители

2 : 1, 2

2

Делители (множители)

Найдите простые множители

2 : 2

2

2

является простым числом, поэтому разложение на множители невозможно

= 2

Добавьте 1

1

Факторы

2

1, 2

Отрицательные коэффициенты

2 : - 1, - 2

Умножьте коэффициенты на

- 1

чтобы получить отрицательные коэффициенты

- 1, - 2

Для каждых двух множителей таких, как

u * v = 2,

проверьте, если

u + v = - 3

Проверьте

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

НеверноПроверьте

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Верно

u = - 1, v = - 2

Сгруппируйте в

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Вынести

u

из

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Убрать общее значение

u

= u (2 u - 1)

Вынести

- 1

из

- 2 u + 1 : - (2 u - 1)

- 2 u + 1

Убрать общее значение

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Убрать общее значение

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) \leq 0

Определите интервалы

Найдите знаки множителей

(2 u - 1) (u - 1)

Найдите признаки

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

2 u = 1

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

2 u = 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

2 u < 1

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

2 u < 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

2 u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

2 u > 1

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

2 u > 1

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

После упрощения получаем

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Найдите признаки

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Переместите

1

вправо

u - 1 < 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 < 0 + 1

После упрощения получаем

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Переместите

1

вправо

u - 1 > 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 > 0 + 1

После упрощения получаем

u > 1

u > 1

Свести в таблицу:

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

\leq 0

u = \frac{1}{2} or \frac{1}{2} < u < 1 or u = 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{1}{2} \leq u < 1 or u = 1

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

u = \frac{1}{2}

либо

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} \leq u < 1

Объединение двух интервалов — это набор чисел, которые находятся либо в интервале

\frac{1}{2} \leq u < 1

либо

u = 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

\frac{1}{2} \leq u \leq 1

Делаем обратную замену

u = sin (x)

\frac{1}{2} \leq sin (x) \leq 1

Если

a \leq u \leq b,

то

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) \leq 1

\frac{1}{2} \leq sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} \leq sin (x)

Поменяйте стороны

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Для

sin (x) \geq a

, если

- 1 < a < 1

, то

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Упростите

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Упростите

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Используйте следующее тривиальное тождество:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

После упрощения получаем

π - \frac{π}{6}

Преобразуйте элемент в дробь:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Добавьте похожие элементы:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq 1 :

Верно для всех

x \in R

sin (x) \leq 1

Диапазон

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Определение диапазона функций

Диапазон базовой функции

sin

равен

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Пусть

y = sin (x)

Объедините интервалы

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

y \leq 1 and - 1 \leq y \leq 1

Пересечение двух интервалов - это набор чисел, которые находятся в обоих интервалах

y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Верно для всех x

Верно для всех x \in R

Объедините интервалы

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and Верно для всех x \in R

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

2sin^2(x)-3sin(x)+1<= 0

Решение

Решение

Популярные примеры