English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)<1

Решение

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < 1

Решение

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Обозначение интервала

(\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n)

десятичными цифрами

0.52359 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.87266 \dots + \frac{π}{3} n

Шаги решения

2 (cos (3 x))^{2} + 3 sin (6 x) < 1

Допустим:

u = 3 x

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < 1

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < 1 : \frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

2 (cos (u))^{2} + 3 sin (2 u) < 1

Используйте следующую тождественность:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

2 (cos (u))^{2} + 3 \cdot 2 cos (u) sin (u) < 1

После упрощения получаем

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) < 1

Периодичность

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : π

Составная периодичность суммы периодических функций есть наименьшее общее кратное периодов

2 cos^{2} (u), 23 cos (u) sin (u)

Периодичность

2 cos^{2} (u) : π

Периодичность

cos^{n} (x) = \frac{Периодичность cos ( x )}{2},

если n четно

Периодичность

cos (u) : 2 π

Периодичностью

cos (x)

является

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

После упрощения получаем

π

Периодичность

23 cos (u) sin (u) : π

23 cos (u) sin (u)

состоит из следующих функций и периодов:

cos (u)

с периодичностью

2 π

Составная периодичность:

π

Объединить периоды:

π, π

= π

Найдите множитель

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u) : 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

Примените правило возведения в степень:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (u) = cos (u) cos (u)

= 2 cos (u) cos (u) + 23 cos (u) sin (u)

Убрать общее значение

2 cos (u)

= 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u))

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) < 1

Чтобы найти нули, приравняем неравенство к нулю

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

Решить

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

для

0 \leq u < π

2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) = 0

Произведите отдельное решение для каждой части

cos (u) = 0 : u = \frac{π}{2}

cos (u) = 0, 0 \leq u < π

Общие решения для

cos (u) = 0

cos (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

u = \frac{π}{2} + 2 πn, u = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Общие решения для диапазона

0 \leq u < π

u = \frac{π}{2}

cos (u) + 3 sin (u) = 0 : u = \frac{5 π}{6}

cos (u) + 3 sin (u) = 0, 0 \leq u < π

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos (u) + 3 sin (u) = 0

Разделите обе части на

cos (u), cos (u) \neq = 0

\frac{cos ( u ) + 3 sin ( u )}{cos ( u )} = \frac{0}{cos ( u )}

После упрощения получаем

1 + \frac{3 sin ( u )}{cos ( u )} = 0

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 + 3 tan (u) = 0

1 + 3 tan (u) = 0

Переместите

1

вправо

1 + 3 tan (u) = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

1 + 3 tan (u) - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

3 tan (u) = - 1

3 tan (u) = - 1

Разделите обе стороны на

3

3 tan (u) = - 1

Разделите обе стороны на

3

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

После упрощения получаем

\frac{3 tan ( u )}{3} = \frac{- 1}{3}

Упростите

\frac{3 tan ( u )}{3} : tan (u)

\frac{3 tan ( u )}{3}

Отмените общий множитель:

3

= tan (u)

Упростите

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Примените правило дробей:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Рационализируйте

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Умножить на сопряженное

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Примените правило радикалов:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (u) = - \frac{3}{3}

Общие решения для

tan (u) = - \frac{3}{3}

tan (x)

таблица периодичности с циклом

πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

u = \frac{5 π}{6} + πn

Общие решения для диапазона

0 \leq u < π

u = \frac{5 π}{6}

Объедините все решения

\frac{π}{2} or \frac{5 π}{6}

Интервалы между нулями

0 < u < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < u < π

Свести в таблицу:

cos (u) cos (u) + 3 sin (u) 2 cos (u) (cos (u) + 3 sin (u)) u = 0 + + + 0 < u < \frac{π}{2} + + + u = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6} - + - u = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < u < π - - + u = π - - +

Определите интервалы, удовлетворяющие требуемому условию:

< 0

\frac{π}{2} < u < \frac{5 π}{6}

Примените периодичность

2 cos^{2} (u) + 23 cos (u) sin (u)

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < u < \frac{5 π}{6} + πn

Делаем обратную замену

3 x = u

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn : \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{2} + πn < 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Если

a < u < b,

то

a < u and u < b

\frac{π}{2} + πn < 3 x and 3 x < \frac{5 π}{6} + πn

\frac{π}{2} + πn < 3 x : x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{2} + πn < 3 x

Поменяйте стороны

3 x > \frac{π}{2} + πn

Разделите обе стороны на

3

3 x > \frac{π}{2} + πn

Разделите обе стороны на

3

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

После упрощения получаем

\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

Упростите

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Разделите числа:

\frac{3}{3} = 1

= x

Упростите

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{2}}{3} = \frac{π}{6}

\frac{\frac{π}{2}}{3}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 3}

Перемножьте числа:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{6} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn : x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Разделите обе стороны на

3

3 x < \frac{5 π}{6} + πn

Разделите обе стороны на

3

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

После упрощения получаем

\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

Упростите

\frac{3 x}{3} : x

\frac{3 x}{3}

Разделите числа:

\frac{3}{3} = 1

= x

Упростите

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3} : \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3} = \frac{5 π}{18}

\frac{\frac{5 π}{6}}{3}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 3}

Перемножьте числа:

6 \cdot 3 = 18

= \frac{5 π}{18}

= \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

x < \frac{5 π}{18} + \frac{πn}{3}

Объедините интервалы

x > \frac{π}{6} + \frac{π}{3} n and x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

Объединить Перекрывающиеся Интервалы

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

\frac{π}{6} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{18} + \frac{π}{3} n

2(cos(3x))^2+sqrt(3)sin(6x)<1

Решение

Решение

Популярные примеры