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受欢迎的三角函数 >

cos^2(x)>= cos(x)

解答

cos^{2} (x) \geq cos (x)

解答

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

+2

间隔符号

[\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn]

十进制

1.57079 \dots + 2 πn \leq x \leq 4.71238 \dots + 2 πn

求解步骤

cos^{2} (x) \geq cos (x)

令

: u = cos (x)

u^{2} \geq u

u^{2} \geq u : u \leq 0 or u \geq 1

u^{2} \geq u

改写为标准形式

u^{2} \geq u

两边减去

u

u^{2} - u \geq u - u

化简

u^{2} - u \geq 0

u^{2} - u \geq 0

分解

u^{2} - u : u (u - 1)

u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

因式分解出通项

u

= u (u - 1)

u (u - 1) \geq 0

确定区间

确定

u (u - 1)

符号

确定

u

符号

u = 0

u < 0

u > 0

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

总结如下表：

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

u < 0 or u = 0 or u = 1 or u > 1

合并重叠的区间

u \leq 0 or u = 1 or u > 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u < 0

or

u = 0

u \leq 0

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq 0

or

u = 1

u \leq 0 or u = 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq 0 or u = 1

or

u > 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u \leq 0 or u \geq 1

u = cos (x)

代回

cos (x) \leq 0 or cos (x) \geq 1

cos (x) \leq 0 : \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \leq 0

对于

cos (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (0) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (0) + 2 πn

化简

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

化简

2 π - arccos (0) : \frac{3 π}{2}

2 π - arccos (0)

使用以下普通恒等式:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{2}

化简

2 π - \frac{π}{2}

将项转换为分式:

2 π = \frac{2 π 2}{2}

= \frac{2 π 2}{2} - \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 2 - π}{2}

2 π 2 - π = 3 π

2 π 2 - π

数字相乘:

2 \cdot 2 = 4

= 4 π - π

同类项相加:

4 π - π = 3 π

= 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) \geq 1 : x \in R

无解

cos (x) \geq 1

对于

cos (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (1) + 2 πn \leq x \leq arccos (1) + 2 πn

化简

- arccos (1) : 0

- arccos (1)

使用以下普通恒等式:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - 0

= 0

化简

arccos (1) : 0

arccos (1)

使用以下普通恒等式:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

0 + 2 πn \leq x \leq 0 + 2 πn

化简

x \in R 无解

合并区间

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

\frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq \frac{3 π}{2} + 2 πn

流行的例子

tan(θ)>0,cos(θ)<0sin(θ)=-2/5 ,tan(θ)

tan (θ) > 0, cos (θ) < 0 sin (θ) = - \frac{2}{5}, tan (θ)

tan^{2} (x) > 1

sin (x) < tan (x)

2/pi-arctan(x)<0.001

\frac{2}{π} - arctan (x) < 0.001

cot (x) \geq 0