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受欢迎的三角函数 >

sin(x)>sin^2(x)

解答

sin (x) > sin^{2} (x)

解答

2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn

+2

间隔符号

(2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, π + 2 πn)

十进制

2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn

求解步骤

sin (x) > sin^{2} (x)

令

: u = sin (x)

u > u^{2}

u > u^{2} : 0 < u < 1

u > u^{2}

改写为标准形式

u > u^{2}

两边减去

u^{2}

u - u^{2} > u^{2} - u^{2}

化简

u - u^{2} > 0

u - u^{2} > 0

分解

u - u^{2} : - u (u - 1)

u - u^{2}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

因式分解出通项

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) > 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- u (u - 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

化简

u (u - 1) < 0

确定区间

确定

u (u - 1)

符号

确定

u

符号

u = 0

u < 0

u > 0

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

总结如下表：

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

< 0

0 < u < 1

0 < u < 1

0 < u < 1

u = sin (x)

代回

0 < sin (x) < 1

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

0 < sin (x) and sin (x) < 1

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

交换两边

sin (x) > 0

对于

sin (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

化简

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

化简

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

使用以下普通恒等式:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

化简

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

对于

sin (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

化简

- π - arcsin (1) : - \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

化简

- π - \frac{π}{2}

将项转换为分式:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{2}

同类项相加:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{2}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

化简

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

合并区间

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

合并重叠的区间

2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < π + 2 πn

流行的例子

-1/(8sin^3(t))>0

- \frac{1}{8 sin ^{3} ( t )} > 0

cot (x) \geq \frac{7}{8}

2sin(3x-pi/3)<= 1

2 sin (3 x - \frac{π}{3}) \leq 1

cos^2(2x)>(2sqrt(3))/4

cos^{2} (2 x) > \frac{2 3}{4}

cos (y) > 0