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受欢迎的三角函数 >

2+cos^2(x)+sin(x)>0

解答

2 + cos^{2} (x) + sin (x) > 0

解答

对所有 x \in R 为真

+1

间隔符号

(- \infty, \infty)

求解步骤

2 + cos^{2} (x) + sin (x) > 0

利用以下特性:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

因此

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

2 + 1 - sin^{2} (x) + sin (x) > 0

化简

sin (x) - sin^{2} (x) + 3 > 0

令

: u = sin (x)

u - u^{2} + 3 > 0

u - u^{2} + 3 > 0 : \frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

u - u^{2} + 3 > 0

对

u - u^{2} + 3

配方:

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4}

u - u^{2} + 3

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c

- u^{2} + u + 3

将

- u^{2} + u + 3

改写为如下形式:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

因式分解

- 1

- (u^{2} - u - 3)

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

两边除以

2

2 a = - 1

两边除以

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

化简

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

加和减

(- \frac{1}{2})^{2}

- (u^{2} - u - 3 + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- ((u - \frac{1}{2})^{2} - 3 - (- \frac{1}{2})^{2})

化简

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4} > 0

将

\frac{13}{4}

到右边

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4} > 0

两边减去

\frac{13}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4} - \frac{13}{4} > 0 - \frac{13}{4}

化简

- (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{13}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{13}{4}

在两边乘以

- 1

- (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{13}{4}

两边乘以 -1（不等式变号）

(- (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) < (- \frac{13}{4}) (- 1)

化简

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{13}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{13}{4}

对于

u^{n} < a

，若

n

为偶数，则

- n a < u < n a

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2} and u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2} : u > \frac{- 13 + 1}{2}

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2}

交换两边

u - \frac{1}{2} > - \frac{13}{4}

化简

\frac{13}{4} : \frac{13}{2}

\frac{13}{4}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{13}{4}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{13}{2}

u - \frac{1}{2} > - \frac{13}{2}

将

\frac{1}{2}

到右边

u - \frac{1}{2} > - \frac{13}{2}

两边加上

\frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

化简

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

化简

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

同类项相加:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0

= u

化简

- \frac{13}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 13 + 1}{2}

- \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 13 + 1}{2}

u > \frac{- 13 + 1}{2}

u > \frac{- 13 + 1}{2}

u > \frac{- 13 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4} : u < \frac{13 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

使用根式运算法则:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

假定

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

4 = 2

4

因式分解数字:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

使用根式运算法则:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{2}

将

\frac{1}{2}

到右边

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{2}

两边加上

\frac{1}{2}

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

化简

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

化简

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

同类项相加:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0

= u

化简

\frac{13}{2} + \frac{1}{2} : \frac{13 + 1}{2}

\frac{13}{2} + \frac{1}{2}

使用法则

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{13 + 1}{2}

u < \frac{13 + 1}{2}

u < \frac{13 + 1}{2}

u < \frac{13 + 1}{2}

合并区间

u > \frac{- 13 + 1}{2} and u < \frac{13 + 1}{2}

合并重叠的区间

u > \frac{- 13 + 1}{2} and u < \frac{13 + 1}{2}

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

u > \frac{- 13 + 1}{2}

and

u < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

u = sin (x)

代回

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x) < \frac{13 + 1}{2}

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x) and sin (x) < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x) :

对所有

x \in R

为真

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x)

交换两边

sin (x) > \frac{- 13 + 1}{2}

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > \frac{- 13 + 1}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

令

y = sin (x)

合并区间

y > \frac{- 13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y > \frac{- 13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y > \frac{- 13 + 1}{2}

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

sin (x) < \frac{13 + 1}{2} :

对所有

x \in R

为真

sin (x) < \frac{13 + 1}{2}

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < \frac{13 + 1}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

令

y = sin (x)

合并区间

y < \frac{13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y < \frac{13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y < \frac{13 + 1}{2}

and

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

合并区间

对所有 x \in R 为真 and 对所有 x \in R 为真

合并重叠的区间

对所有 x \in R 为真 and 对所有 x \in R 为真

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

对所有

x \in R

为真

and

对所有

x \in R

为真

对所有 x \in R 为真

对所有 x 为真

对所有 x \in R 为真

流行的例子

2 sin^{2} (x) - 1 > 0

10<5sin(pi/6 (x+2))+6

10 < 5 sin (\frac{π}{6} (x + 2)) + 6

arctan(1-|x|)<= 1/2

arctan (1 - ∣ x ∣) \leq \frac{1}{2}

sin(t)< 1/3 ln(1)

sin (t) < \frac{1}{3} ln (1)

5-8cos(x)+4cos(2x)<0

5 - 8 cos (x) + 4 cos (2 x) < 0