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Beliebt Trigonometrie >

3sin(x)+5cos(x)=4

Lösung

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

Lösung

x = 1.35524 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.27440 \dots + 2 πn

Grad

x = 77.64989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 344.27761 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

Subtrahiere

5 cos (x)

von beiden Seiten

3 sin (x) = 4 - 5 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(3 sin (x))^{2} = (4 - 5 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(4 - 5 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

9 sin^{2} (x) - 16 + 40 cos (x) - 25 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Vereinfache

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x)) : 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 (1 - cos^{2} (x))

Multipliziere aus

9 (1 - cos^{2} (x)) : 9 - 9 cos^{2} (x)

9 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 9 \cdot 1 - 9 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 cos^{2} (x)

= - 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Vereinfache

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x) : 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 16 - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) + 9 - 9 cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 25 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 9 cos^{2} (x) - 16 + 9

Addiere gleiche Elemente:

- 25 cos^{2} (x) - 9 cos^{2} (x) = - 34 cos^{2} (x)

= - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) - 16 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 9 = - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

= 40 cos (x) - 34 cos^{2} (x) - 7

- 7 - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 7 - 34 cos^{2} (x) + 40 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0 : u = \frac{20 - 9 2}{34}, u = \frac{20 + 9 2}{34}

- 7 - 34 u^{2} + 40 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 34 u^{2} + 40 u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 34 u^{2} + 40 u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 34, b = 40, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 34 ) ( - 7 )}{2 ( - 34 )}

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 4 0 ^{2} - 4 ( - 34 ) ( - 7 )}{2 ( - 34 )}

4 0^{2} - 4 (- 34) (- 7) = 182

4 0^{2} - 4 (- 34) (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 4 0^{2} - 4 \cdot 34 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 34 \cdot 7 = 952

= 4 0^{2} - 952

4 0^{2} = 1600

= 1600 - 952

Subtrahiere die Zahlen:

1600 - 952 = 648

= 648

Primfaktorzerlegung von

648 : 2^{3} \cdot 3^{4}

648

648

ist durch

2648 = 324 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 324

324

ist durch

2324 = 162 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 162

162

ist durch

2162 = 81 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 81

81

ist durch

381 = 27 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{4}

= 3^{4} \cdot 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 3^{4} \cdot 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2} 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22 3^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

3^{4} = 3^{\frac{4}{2}} = 3^{2}

= 3^{2} \cdot 22

Fasse zusammen

= 182

u_{1, 2} = \frac{- 40 \pm 18 2}{2 ( - 34 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )}, u_{2} = \frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )}

u = \frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )} : \frac{20 - 9 2}{34}

\frac{- 40 + 18 2}{2 ( - 34 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 40 + 18 2}{- 2 \cdot 34}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 40 + 18 2}{- 68}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 + 182 = - (40 - 182)

= \frac{40 - 18 2}{68}

Faktorisiere

40 - 182 : 2 (20 - 92)

40 - 182

Schreibe um

= 2 \cdot 20 - 2 \cdot 92

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (20 - 92)

= \frac{2 ( 20 - 9 2 )}{68}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{20 - 9 2}{34}

u = \frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )} : \frac{20 + 9 2}{34}

\frac{- 40 - 18 2}{2 ( - 34 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 40 - 18 2}{- 2 \cdot 34}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 34 = 68

= \frac{- 40 - 18 2}{- 68}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 40 - 182 = - (40 + 182)

= \frac{40 + 18 2}{68}

Faktorisiere

40 + 182 : 2 (20 + 92)

40 + 182

Schreibe um

= 2 \cdot 20 + 2 \cdot 92

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (20 + 92)

= \frac{2 ( 20 + 9 2 )}{68}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{20 + 9 2}{34}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{20 - 9 2}{34}, u = \frac{20 + 9 2}{34}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}, cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}, cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34} : x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{20 - 9 2}{34}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34} : x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{20 + 9 2}{34}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

- 1.86115 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

5.62585 \dots = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1

3 sin (x) + 5 cos (x) = 4

ein, um zu lösen

3 sin (2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) + 5 cos (2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 π 1) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

x = arccos (\frac{20 - 9 2}{34}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{20 + 9 2}{34}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.35524 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.27440 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3+2cos(x)=4cos(x/2)

3 + 2 cos (x) = 4 cos (\frac{x}{2})

-sqrt(3)sin(x)=cos(x)

- 3 sin (x) = cos (x)

2csc^2(x)=5-5cot(x)

2 csc^{2} (x) = 5 - 5 cot (x)

2sin^2(x)=3sin(x)

2 sin^{2} (x) = 3 sin (x)

5+2sin(x)-7=0

5 + 2 sin (x) - 7 = 0