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Beliebt Trigonometrie >

4cosh(x)+3sinh(x)=5

Lösung

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Lösung

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Grad

x = 15.92349 \dots^{\circ}, x = - 127.41593 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 cosh (x) + 3 sinh (x) = 5

Hyperbolische Identität anwenden:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

4 cosh (x) + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5 : x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an

4 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 5

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

4 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

4 \cdot \frac{e ^{x} + ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{e ^{x} - ( e ^{x} ) ^{- 1}}{2} = 5

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

4 \cdot \frac{u + ( u ) ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - ( u ) ^{- 1}}{2} = 5

Löse

4 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5 : u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

4 \cdot \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \cdot \frac{u - u ^{- 1}}{2} = 5

Fasse zusammen

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} = 5

Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von

u, 2 u : 2 u

u, 2 u

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

u

oder

2 u

auftauchen.

= 2 u

Multipliziere mit dem kleinsten gemeinsamen Multiplikator=

2 u

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Vereinfache

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u + \frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u = 5 \cdot 2 u

Vereinfache

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u : 4 (u^{2} + 1)

\frac{2 ( u ^{2} + 1 )}{u} \cdot 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 ( u ^{2} + 1 ) \cdot 2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2 (u^{2} + 1) \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 (u^{2} + 1)

Vereinfache

\frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u : 3 (u^{2} - 1)

\frac{3 ( u ^{2} - 1 )}{2 u} \cdot 2 u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) \cdot 2 u}{2 u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 ( u ^{2} - 1 ) u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 3 (u^{2} - 1)

Vereinfache

5 \cdot 2 u : 10 u

5 \cdot 2 u

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 2 = 10

= 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Löse

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u : u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1) = 10 u

Schreibe

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1)

um:

7 u^{2} + 1

4 (u^{2} + 1) + 3 (u^{2} - 1)

Multipliziere aus

4 (u^{2} + 1) : 4 u^{2} + 4

4 (u^{2} + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 4, b = u^{2}, c = 1

= 4 u^{2} + 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 u^{2} + 4

= 4 u^{2} + 4 + 3 (u^{2} - 1)

Multipliziere aus

3 (u^{2} - 1) : 3 u^{2} - 3

3 (u^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = u^{2}, c = 1

= 3 u^{2} - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 u^{2} - 3

= 4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3

Vereinfache

4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3 : 7 u^{2} + 1

4 u^{2} + 4 + 3 u^{2} - 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 u^{2} + 3 u^{2} + 4 - 3

Addiere gleiche Elemente:

4 u^{2} + 3 u^{2} = 7 u^{2}

= 7 u^{2} + 4 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 3 = 1

= 7 u^{2} + 1

= 7 u^{2} + 1

7 u^{2} + 1 = 10 u

Verschiebe

10 u

auf die linke Seite

7 u^{2} + 1 = 10 u

Subtrahiere

10 u

von beiden Seiten

7 u^{2} + 1 - 10 u = 10 u - 10 u

Vereinfache

7 u^{2} + 1 - 10 u = 0

7 u^{2} + 1 - 10 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

7 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

7 u^{2} - 10 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 7, b = - 10, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}{2 \cdot 7}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1}{2 \cdot 7}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1 = 62

(- 10)^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 7 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 7 \cdot 1 = 28

= 1 0^{2} - 28

1 0^{2} = 100

= 100 - 28

Subtrahiere die Zahlen:

100 - 28 = 72

= 72

Primfaktorzerlegung von

72 : 2^{3} \cdot 3^{2}

72

72

ist durch

272 = 36 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 36

36

ist durch

236 = 18 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 18

18

ist durch

218 = 9 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{3} \cdot 3^{2}

= 2^{3} \cdot 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2 \cdot 32

Fasse zusammen

= 62

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 6 2}{2 \cdot 7}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7}

u = \frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7} : \frac{5 + 3 2}{7}

\frac{- ( - 10 ) + 6 2}{2 \cdot 7}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 + 6 2}{2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{10 + 6 2}{14}

Faktorisiere

10 + 62 : 2 (5 + 32)

10 + 62

Schreibe um

= 2 \cdot 5 + 2 \cdot 32

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 + 32)

= \frac{2 ( 5 + 3 2 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 + 3 2}{7}

u = \frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7} : \frac{5 - 3 2}{7}

\frac{- ( - 10 ) - 6 2}{2 \cdot 7}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 - 6 2}{2 \cdot 7}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 7 = 14

= \frac{10 - 6 2}{14}

Faktorisiere

10 - 62 : 2 (5 - 32)

10 - 62

Schreibe um

= 2 \cdot 5 - 2 \cdot 32

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (5 - 32)

= \frac{2 ( 5 - 3 2 )}{14}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{5 - 3 2}{7}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

4 \frac{u + u ^{- 1}}{2} + 3 \frac{u - u ^{- 1}}{2}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

u = \frac{5 + 3 2}{7}, u = \frac{5 - 3 2}{7}

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7} : x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{5 + 3 2}{7}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7})

Löse

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7} : x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7}

Wende Exponentenregel an

e^{x} = \frac{5 - 3 2}{7}

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

x = ln (\frac{5 + 3 2}{7}), x = ln (\frac{5 - 3 2}{7})

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=0.04

tan (θ) = 0.04

csc(θ)= 9/11

csc (θ) = \frac{9}{11}

5-7sin(x)=2cos^2(x)

5 - 7 sin (x) = 2 cos^{2} (x)

cos(x)=0.117

cos (x) = 0.117

tan(a)=0.5

tan (a) = 0.5