English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

شائع علم المثلثات >

6cos(x)+3sin(x)=5

الحلّ

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

الحلّ

x = - 0.26608 \dots + 2 πn, x = 1.19337 \dots + 2 πn

درجات

x = - 15.24526 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 68.37536 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

خطوات الحلّ

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

من الطرفين

3 sin (x)

اطرح

6 cos (x) = 5 - 3 sin (x)

ربّع الطرفين

(6 cos (x))^{2} = (5 - 3 sin (x))^{2}

من الطرفين

(5 - 3 sin (x))^{2}

اطرح

36 cos^{2} (x) - 25 + 30 sin (x) - 9 sin^{2} (x) = 0

Rewrite using trig identities

- 25 + 30 sin (x) + 36 cos^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:فعّل نطريّة فيتاغوروس

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

- 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

بسّط:

30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

- 25 + 30 sin (x) + 36 (1 - sin^{2} (x)) - 9 sin^{2} (x)

36 (1 - sin^{2} (x))

وسٌع:

36 - 36 sin^{2} (x)

36 (1 - sin^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: افتح أقواس بالاستعانة بـ

a = 36, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 sin^{2} (x)

36 \cdot 1 = 36 :

اضرب الأعداد

= 36 - 36 sin^{2} (x)

= - 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

- 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

بسّط:

30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

- 25 + 30 sin (x) + 36 - 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x)

- 36 sin^{2} (x) - 9 sin^{2} (x) = - 45 sin^{2} (x) :

اجمع العناصر المتشابهة

= - 25 + 30 sin (x) + 36 - 45 sin^{2} (x)

جمّع التعابير المتشابهة

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) - 25 + 36

- 25 + 36 = 11 :

اطرح/اجمع الأعداد

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

= 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) + 11

11 + 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) = 0

بالاستعانة بطريقة التعويض

11 + 30 sin (x) - 45 sin^{2} (x) = 0

sin (x) = u :

على افتراض أنّ

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0 : u = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, u = \frac{5 + 4 5}{15}

11 + 30 u - 45 u^{2} = 0

a x^{2} + b x + c = 0

اكتب بالصورة الاعتياديّة

- 45 u^{2} + 30 u + 11 = 0

حلّ بالاستعانة بالصيغة التربيعيّة

- 45 u^{2} + 30 u + 11 = 0

الصيغة لحلّ المعادلة التربيعيّة

a = - 45, b = 30, c = 11

لـ

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 45 ) \cdot 11}{2 ( - 45 )}

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 3 0 ^{2} - 4 ( - 45 ) \cdot 11}{2 ( - 45 )}

3 0^{2} - 4 (- 45) \cdot 11 = 245

3 0^{2} - 4 (- 45) \cdot 11

- (- a) = a

فعّل القانون

= 3 0^{2} + 4 \cdot 45 \cdot 11

4 \cdot 45 \cdot 11 = 1980 :

اضرب الأعداد

= 3 0^{2} + 1980

3 0^{2} = 900

= 900 + 1980

900 + 1980 = 2880 :

اجمع الأعداد

= 2880

2880

تحليل لعوامل أوّليّة لـ:

2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

2880

2880 = 1440 \cdot 2, 2

ينقسم على

2880

= 2 \cdot 1440

1440 = 720 \cdot 2, 2

ينقسم على

1440

= 2 \cdot 2 \cdot 720

720 = 360 \cdot 2, 2

ينقسم على

720

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 360

360 = 180 \cdot 2, 2

ينقسم على

360

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 180

180 = 90 \cdot 2, 2

ينقسم على

180

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 90

90 = 45 \cdot 2, 2

ينقسم على

90

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 45

45 = 15 \cdot 3, 3

ينقسم على

45

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15

15 = 5 \cdot 3, 3

ينقسم على

15

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

مركّب من أعداد أوّليّة فقط، لذلك تحليل إضافيّ غير ممكن

2, 3, 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 5

n ab = n a n b

:فعْل قانون الجذور

= 5 2^{6} 3^{2}

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

:فعْل قانون الجذور

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 5 3^{2}

n a^{n} = a

:فعْل قانون الجذور

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 35

بسّط

= 245

u_{1, 2} = \frac{- 30 \pm 24 5}{2 ( - 45 )}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )}, u_{2} = \frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )}

u = \frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )} : - \frac{- 5 + 4 5}{15}

\frac{- 30 + 24 5}{2 ( - 45 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 30 + 24 5}{- 2 \cdot 45}

2 \cdot 45 = 90 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 30 + 24 5}{- 90}

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

= - \frac{- 30 + 24 5}{90}

\frac{- 30 + 24 5}{90}

اختزل:

\frac{4 5 - 5}{15}

\frac{- 30 + 24 5}{90}

- 30 + 245

حلل إلى عوامل:

6 (- 5 + 45)

- 30 + 245

أعد الكتابة كـ

= - 6 \cdot 5 + 6 \cdot 45

6

قم باخراج العامل المشترك

= 6 (- 5 + 45)

= \frac{6 ( - 5 + 4 5 )}{90}

6 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{- 5 + 4 5}{15}

= - \frac{4 5 - 5}{15}

= - \frac{- 5 + 4 5}{15}

u = \frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )} : \frac{5 + 4 5}{15}

\frac{- 30 - 24 5}{2 ( - 45 )}

(- a) = - a

:احذف الأقواس

= \frac{- 30 - 24 5}{- 2 \cdot 45}

2 \cdot 45 = 90 :

اضرب الأعداد

= \frac{- 30 - 24 5}{- 90}

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

: استخدم ميزات الكسور التالية

- 30 - 245 = - (30 + 245)

= \frac{30 + 24 5}{90}

30 + 245

حلل إلى عوامل:

6 (5 + 45)

30 + 245

أعد الكتابة كـ

= 6 \cdot 5 + 6 \cdot 45

6

قم باخراج العامل المشترك

= 6 (5 + 45)

= \frac{6 ( 5 + 4 5 )}{90}

6 :

إلغ العوامل المشتركة

= \frac{5 + 4 5}{15}

حلول المعادلة التربيعيّة هي

u = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, u = \frac{5 + 4 5}{15}

u = sin (x)

استبدل مجددًا

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}, sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15} : x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

Apply trig inverse properties

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15}

sin (x) = - \frac{- 5 + 4 5}{15} :

حلول عامّة لـ

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15} : x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

Apply trig inverse properties

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15}

sin (x) = \frac{5 + 4 5}{15} :

حلول عامّة لـ

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

وحّد الحلول

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

تأكّد من صحّة الحلول عن طريق تعويضها في المعادلة الأصليّة

للتحقّق من دقّة الحلول

6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

عوّض الحلول في

إلغي الحلول التي تعطي قضيّة كذب

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

عوّض

, 6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

في

6 cos (arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

بسّط

5 = 5

\Rightarrow صحيح

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn

n = 1

استبدل

π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

x = π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

عوّض

, 6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

في

6 cos (π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (π + arcsin (\frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

بسّط

- 6.57770 \dots = 5

\Rightarrow خطأ

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

افحص الحل:

صحيح

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

n = 1

استبدل

arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

عوّض

, 6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

في

6 cos (arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

بسّط

5 = 5

\Rightarrow صحيح

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

افحص الحل:

خطأ

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

n = 1

استبدل

π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

x = π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1

عوّض

, 6 cos (x) + 3 sin (x) = 5

في

6 cos (π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) + 3 sin (π - arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 π 1) = 5

بسّط

0.57770 \dots = 5

\Rightarrow خطأ

x = arcsin (- \frac{- 5 + 4 5}{15}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{5 + 4 5}{15}) + 2 πn

أظهر الحلّ بالتمثيل العشريّ

x = - 0.26608 \dots + 2 πn, x = 1.19337 \dots + 2 πn

رسم

أمثلة شائعة

(2sin(x)-1)cos(x)=0

(2 sin (x) - 1) cos (x) = 0

sin(2x)+cos(x)=0,x<= 2pi,0

sin (2 x) + cos (x) = 0, x \leq 2 π, 0

6sin(x)=5cos(x)

6 sin (x) = 5 cos (x)

sin(θ)=(-3)/4

sin (θ) = \frac{- 3}{4}

2csc(θ)+3sec(θ)=0

2 csc (θ) + 3 sec (θ) = 0