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Populaire Trigonométrie >

sin^2(x)-cos^2(x)=cos^4(x)

Solution

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

Solution

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Degrés

x = 49.93964 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 310.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 130.06035 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

Soustraire

cos^{4} (x)

des deux côtés

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Simplifier

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x) : - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

- cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= - cos^{2} (x) - cos^{4} (x) - cos^{2} (x) + 1

Additionner les éléments similaires :

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

= - 2 cos^{2} (x) - cos^{4} (x) + 1

1 - cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 - cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2, u = 2 - 1, u = - 2 - 1

1 - u^{4} - 2 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

- u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Récrire l'équation avec

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Résoudre

- v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = - 1 - 2, v = 2 - 1

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- v^{2} - 2 v + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 22

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Additionner les nombres :

4 + 4 = 8

= 8

Factorisation première de

8 : 2^{3}

8

8

divisée par

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Appliquer la règle des radicaux:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Séparer les solutions

v_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}, v_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

v = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 2}{2}

Annuler

\frac{2 + 2 2}{2} : 1 + 2

\frac{2 + 2 2}{2}

Factoriser

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Récrire comme

= 2 \cdot 1 + 22

Factoriser le terme commun

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

= - (1 + 2)

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (2)

Appliquer les règles des moins et des plus

+ (- a) = - a

= - 1 - 2

v = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 22 = - (22 - 2)

= \frac{2 2 - 2}{2}

Factoriser

22 - 2 : 2 (2 - 1)

22 - 2

Récrire comme

= 22 - 2 \cdot 1

Factoriser le terme commun

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

v = - 1 - 2, v = 2 - 1

v = - 1 - 2, v = 2 - 1

Resubstituer

v = u^{2},

résoudre pour

u

Résoudre

u^{2} = - 1 - 2 : u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

u^{2} = - 1 - 2

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = - 1 - 2, u = - - 1 - 2

Simplifier

- 1 - 2 : i 1 + 2

- 1 - 2

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- a = i a

= i 1 + 2

Simplifier

- - 1 - 2 : - i 1 + 2

- - 1 - 2

Appliquer la règle du nombre imaginaire:

- a = i a

= - i 1 + 2

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2

Résoudre

u^{2} = 2 - 1 : u = 2 - 1, u = - 2 - 1

u^{2} = 2 - 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 2 - 1, u = - 2 - 1

Les solutions sont

u = i 1 + 2, u = - i 1 + 2, u = 2 - 1, u = - 2 - 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2, cos (x) = 2 - 1, cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = i 1 + 2, cos (x) = - i 1 + 2, cos (x) = 2 - 1, cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = i 1 + 2 :

Aucune solution

cos (x) = i 1 + 2

Aucune solution

cos (x) = - i 1 + 2 :

Aucune solution

cos (x) = - i 1 + 2

Aucune solution

cos (x) = 2 - 1 : x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

cos (x) = 2 - 1

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = 2 - 1

Solutions générales pour

cos (x) = 2 - 1

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 1 : x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

cos (x) = - 2 - 1

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - 2 - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 2 - 1

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (2 - 1) + 2 πn, x = 2 π - arccos (2 - 1) + 2 πn, x = arccos (- 2 - 1) + 2 πn, x = - arccos (- 2 - 1) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.87161 \dots + 2 πn, x = 2.26998 \dots + 2 πn, x = - 2.26998 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin^2(x)+2cos^2(x)=1

sin^{2} (x) + 2 cos^{2} (x) = 1

(sin^2(a)+1)/(tan^2(a))=1

\frac{sin ^{2} ( a ) + 1}{tan ^{2} ( a )} = 1

2cos^2(x)=-3sin(x)cos(x)

2 cos^{2} (x) = - 3 sin (x) cos (x)

4cos^2(x)=sin^2(x)+3

4 cos^{2} (x) = sin^{2} (x) + 3

2cos^2(x)-sin^2(x)-2sin(x)=0

2 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0