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integral of sqrt(45+4x-x^2)

Lösung

\int 45 + 4 x - x^{2} d x

\frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)))) + C

Schritte zur Lösung

\int 45 + 4 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

45 + 4 x - x^{2} : - (x - 2)^{2} + 49

= \int - (x - 2)^{2} + 49 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 49 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 49 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 49 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 49 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 49 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 49 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 49 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 49 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 2))))

Vereinfache

49 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)))) : \frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 2))))

= \frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 2))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{49}{2} (arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{7} (x - 2)))) + C

y^{^{'}} = 2 t

d er i v a t i v e f (x) = x + 11

\int - 4 e^{2 x} d x

y = 0

\int x \cdot sin (2 x) d x