inverselaplace 2/(s^2(s^2-2s+5))

解

逆ラプラス

\frac{2}{s ^{2} ( s ^{2} - 2 s + 5 )}

\frac{4}{25} H (t) + \frac{2 t}{5} - \frac{4}{25} e^{t} cos (2 t) - \frac{3 e ^{t} sin ( 2 t )}{25}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{2}{s ^{2} ( s ^{2} - 2 s + 5 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{2}{s ^{2} ( s ^{2} - 2 s + 5 )} : \frac{4}{25 s} + \frac{2}{5 s ^{2}} + \frac{- 4 s - 2}{25 ( s ^{2} - 2 s + 5 )}

= L^{- 1} {\frac{4}{25 s} + \frac{2}{5 s ^{2}} + \frac{- 4 s - 2}{25 ( s ^{2} - 2 s + 5 )}}

拡張

\frac{- 4 s - 2}{25 ( s ^{2} - 2 s + 5 )} : - \frac{4}{25} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4} - \frac{6}{25} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{4}{25 s} + \frac{2}{5 s ^{2}} - \frac{4}{25} \cdot \frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4} - \frac{6}{25} \cdot \frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{4}{25 s}} + L^{- 1} {\frac{2}{5 s ^{2}}} - \frac{4}{25} L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} - \frac{6}{25} L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{4}{25 s}} : \frac{4}{25} H (t)

L^{- 1} {\frac{2}{5 s ^{2}}} : \frac{2 t}{5}

L^{- 1} {\frac{s - 1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} : e^{t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s - 1 ) ^{2} + 4}} : e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{4}{25} H (t) + \frac{2 t}{5} - \frac{4}{25} e^{t} cos (2 t) - \frac{6}{25} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{4}{25} H (t) + \frac{2 t}{5} - \frac{4}{25} e^{t} cos (2 t) - \frac{6}{25} e^{t} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{4}{25} H (t) + \frac{2 t}{5} - \frac{4}{25} e^{t} cos (2 t) - \frac{3 e ^{t} sin ( 2 t )}{25}

= \frac{4}{25} H (t) + \frac{2 t}{5} - \frac{4}{25} e^{t} cos (2 t) - \frac{3 e ^{t} sin ( 2 t )}{25}