integral of sin^5(2θ)

Lösung

\int sin^{5} (2 θ) d θ

32 (- \frac{cos ^{6} ( θ )}{6} + \frac{cos ^{8} ( θ )}{4} - \frac{cos ^{10} ( θ )}{10}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{5} (2 θ) d θ

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int 32 cos^{5} (θ) sin^{5} (θ) d θ

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 32 \cdot \int cos^{5} (θ) sin^{5} (θ) d θ

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 32 \cdot \int (1 - cos^{2} (θ))^{2} sin (θ) cos^{5} (θ) d θ

Wende U-Substitution an

= 32 \cdot \int - u^{5} (1 - u^{2})^{2} d u

Multipliziere aus

- u^{5} (1 - u^{2})^{2} : - u^{5} + 2 u^{7} - u^{9}

= 32 \cdot \int - u^{5} + 2 u^{7} - u^{9} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 32 (- \int u^{5} d u + \int 2 u^{7} d u - \int u^{9} d u)

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

\int 2 u^{7} d u = \frac{u ^{8}}{4}

\int u^{9} d u = \frac{u ^{10}}{10}

= 32 (- \frac{u ^{6}}{6} + \frac{u ^{8}}{4} - \frac{u ^{10}}{10})

Setze in

u = cos (θ)

ein

= 32 (- \frac{cos ^{6} ( θ )}{6} + \frac{cos ^{8} ( θ )}{4} - \frac{cos ^{10} ( θ )}{10})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 32 (- \frac{cos ^{6} ( θ )}{6} + \frac{cos ^{8} ( θ )}{4} - \frac{cos ^{10} ( θ )}{10}) + C

\frac{\partial}{\partial x} (5 x^{2} y)

\int 9 cos^{4} (x) d x

s l o p e in t erce pt (2, 4), (3, 6)

\int \frac{x}{( x ^{2} - 2 ) ^{2}} d x

d er i v a t i v e y = e^{1 - x}