integral of sin^3(x/2)cos^5(x/2)

Lösung

\int sin^{3} (\frac{x}{2}) cos^{5} (\frac{x}{2}) d x

2 (- \frac{cos ^{6} ( \frac{x}{2} )}{6} + \frac{cos ^{8} ( \frac{x}{2} )}{8}) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{3} (\frac{x}{2}) cos^{5} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{3} (u) cos^{5} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin^{3} (u) cos^{5} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (1 - cos^{2} (u)) sin (u) cos^{5} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int - v^{5} (1 - v^{2}) d v

Multipliziere aus

- v^{5} (1 - v^{2}) : - v^{5} + v^{7}

= 2 \cdot \int - v^{5} + v^{7} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int v^{5} d v + \int v^{7} d v)

\int v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{6}

\int v^{7} d v = \frac{v ^{8}}{8}

= 2 (- \frac{v ^{6}}{6} + \frac{v ^{8}}{8})

Ersetze zurück

= 2 (- \frac{cos ^{6} ( \frac{x}{2} )}{6} + \frac{cos ^{8} ( \frac{x}{2} )}{8})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{cos ^{6} ( \frac{x}{2} )}{6} + \frac{cos ^{8} ( \frac{x}{2} )}{8}) + C

x \to - \infty lim (\frac{x ^{2}}{4 - x ^{2}})

\int \frac{1}{2 + y ^{2}} d y

d er i v a t i v e cot^{6} (x)

y^{^{''}} + 25 y = t sin (2 t)

\frac{d}{d x} (0.5 e^{- 0.5 (x - 1)})