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integral of 1/(e^x+4e^{-x)}

解答

\int \frac{1}{e ^{x} + 4 e ^{- x}} d x

解答

\frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{x}}{2}) + C

求解步骤

\int \frac{1}{e ^{x} + 4 e ^{- x}} d x

分解

\frac{1}{e ^{x} + 4 e ^{- x}}

= \int \frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 4 )} d x

使用指数法则:

\frac{1}{a ^{b}} = a^{- b}

\frac{1}{e ^{- x} ( e ^{2 x} + 4 )} = e^{x} \frac{1}{( e ^{2 x} + 4 )}

= \int e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 4} d x

化简

e^{x} \frac{1}{e ^{2 x} + 4} : \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 4}

= \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 4} d x

使用换元积分法

= \int \frac{1}{u ^{2} + 4} d u

使用换元积分法

= \int \frac{1}{2 ( v ^{2} + 1 )} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

使用积分常见定则:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{2} arctan (v)

代回

= \frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{x}}{2})

解答补常数

= \frac{1}{2} arctan (\frac{e ^{x}}{2}) + C

作图

流行的例子

integral from 1 to 3 of 2pix(-x^2+4x-3)

\int_{1}^{3} 2 π x (- x^{2} + 4 x - 3) d x

derivative y=x^{3/2}(x+ce^x)

d er i v a t i v e y = x^{\frac{3}{2}} (x + c e^{x})

integral of 10-(14-2(16-2x)^{1/2})

\int 10 - (14 - 2 (16 - 2 x)^{\frac{1}{2}}) d x

integral of x^4-8x^2+16

\int x^{4} - 8 x^{2} + 16 d x

limit as x approaches-3 of x/((x+3)^4)

x \to - 3 lim (\frac{x}{( x + 3 ) ^{4}})