integral of (sin(2x))/(1+sin^4(x))

Lösung

\int \frac{sin ( 2 x )}{1 + sin ^{4} ( x )} d x

arctan (sin^{2} (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( 2 x )}{1 + sin ^{4} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{1 + sin ^{4} ( x )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{cos ( x ) sin ( x )}{1 + sin ^{4} ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{u}{1 + u ^{4}} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( 1 + v ^{2} )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{1 + v ^{2}} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{1 + v ^{2}} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} arctan (sin^{2} (x))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} arctan (sin^{2} (x)) : arctan (sin^{2} (x))

= arctan (sin^{2} (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (sin^{2} (x)) + C

\int \frac{x ^{3}}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} d x

\int \frac{x ^{5}}{1 + x ^{2}} d x

\int 3 x + sin (x) d x

\int cos (x) sin (x) cos (sin^{2} (x)) d x

\int \frac{x + 2}{x ^{2} + 3 x + 4} d x