integral of 1/(sqrt((x^2+4x+7)^3))

Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{3}} d x

\frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{3}} d x

(x^{2} + 4 x + 7)^{3} = (x^{2} + 4 x + 7)^{\frac{3}{2}},

angenommen

(x^{2} + 4 x + 7) \geq 0

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 4 x + 7 : (x + 2)^{2} + 3

= \int \frac{1}{( ( x + 2 ) ^{2} + 3 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 3 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{3 sec ( v )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int cos (v) d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{3} sin (v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 2)))

Vereinfache

\frac{1}{3} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 2))) : \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7}

= \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7} + C

\int \frac{3 x}{1 + x} d x

\int cos^{2} (ω t + φ) sin (ω t + φ) d t

\int 1 d sin (x) d x

\int x (4 - x)^{5} d x

\int sin (5 x - 2) d x