integral of (3x)/(sqrt(1+x))

Lösung

\int \frac{3 x}{1 + x} d x

6 (\frac{1}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}} - 1 + x) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 x}{1 + x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{x}{1 + x} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int 2 (u^{2} - 1) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot 2 \cdot \int u^{2} - 1 d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 \cdot 2 (\int u^{2} d u - \int 1 d u)

\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}

\int 1 d u = u

= 3 \cdot 2 (\frac{u ^{3}}{3} - u)

Setze in

u = 1 + x

ein

= 3 \cdot 2 (\frac{( 1 + x ) ^{3}}{3} - 1 + x)

Vereinfache

3 \cdot 2 (\frac{( 1 + x ) ^{3}}{3} - 1 + x) : 6 (\frac{1}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}} - 1 + x)

= 6 (\frac{1}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}} - 1 + x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 6 (\frac{1}{3} (1 + x)^{\frac{3}{2}} - 1 + x) + C

\int cos^{2} (ω t + φ) sin (ω t + φ) d t

\int 1 d sin (x) d x

\int x (4 - x)^{5} d x

\int sin (5 x - 2) d x

\int (sin (x))^{4} cos (x) d x