integral of ((sin^2(1/t)))/(t^2)

Lösung

\int \frac{( sin ^{2} ( \frac{1}{t} ) )}{t ^{2}} d t

\frac{1}{2} (- \frac{1}{t} + \frac{1}{2} sin (\frac{2}{t})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ^{2} ( \frac{1}{t} )}{t ^{2}} d t

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 - cos ( \frac{2}{t} )}{2 t ^{2}} d t

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 - cos ( \frac{2}{t} )}{t ^{2}} d t

Multipliziere aus

\frac{1 - cos ( \frac{2}{t} )}{t ^{2}} : \frac{1}{t ^{2}} - \frac{cos ( \frac{2}{t} )}{t ^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{t ^{2}} - \frac{cos ( \frac{2}{t} )}{t ^{2}} d t

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int \frac{1}{t ^{2}} d t - \int \frac{cos ( \frac{2}{t} )}{t ^{2}} d t)

\int \frac{1}{t ^{2}} d t = - \frac{1}{t}

\int \frac{cos ( \frac{2}{t} )}{t ^{2}} d t = - \frac{1}{2} sin (\frac{2}{t})

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{t} - (- \frac{1}{2} sin (\frac{2}{t})))

Vereinfache

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{t} + \frac{1}{2} sin (\frac{2}{t}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{t} + \frac{1}{2} sin (\frac{2}{t})) + C

\int e^{5 x} 1 - e^{10 x} d x

\int (x^{2} y^{2} - 3 x) d x

\int (x - 9) d x

\int - \frac{x}{e ^{- x}} d x

\int \frac{2 x ^{4} - 6 x ^{3} + 5 x}{x + 2} d x