integral of 2/(x(x-2))

Lösung

\int \frac{2}{x ( x - 2 )} d x

- ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 2 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{x ( x - 2 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{x ( x - 2 )} d x

Vervollständige das Quadrat

x (x - 2) : (x - 1)^{2} - 1

= 2 \cdot \int \frac{1}{( x - 1 ) ^{2} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 2 (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = x - 1

ein

= 2 (- (\frac{ln ∣ x - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x - 1 - 1 ∣}{2}))

Vereinfache

2 (- (\frac{ln ∣ x - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ x - 1 - 1 ∣}{2})) : - ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 2 ∣

= - ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 2 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln ∣ x ∣ + ln ∣ x - 2 ∣ + C

\int (6 x^{8} - \frac{2}{3} x^{5} + 7 x^{4} + 3) d x

\int cos (7 x + 8) d x

\int \frac{sin ^{2} ( x )}{sec ( x )} d x

\int [\frac{ln ( x )}{x ^{3}}] d x

\int 16 - r^{2} d r