integral of (cos(ln(x))sin(ln(x)))/x

Lösung

\int \frac{cos ( ln ( x ) ) sin ( ln ( x ) )}{x} d x

- \frac{1}{4} cos (2 ln (x)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ( ln ( x ) ) sin ( ln ( x ) )}{x} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{sin ( 2 ln ( x ) )}{2 x} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sin ( 2 ln ( x ) )}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{sin ( u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int sin (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (- cos (u))

Setze in

u = 2 ln (x)

ein

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (- cos (2 ln (x)))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (- cos (2 ln (x))) : - \frac{1}{4} cos (2 ln (x))

= - \frac{1}{4} cos (2 ln (x))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} cos (2 ln (x)) + C

\int sin^{2} (x) cos (x) e^{s i n (x)} d x

\int \frac{x ^{9}}{( x ^{5} + 1 ) ^{3}} d x

\int \frac{1 + ln ( x )}{x ln ( x )} d x

\int (9 cos (x) + 5 sin (x)) d x

\int y \cdot e^{y^{2}} d y