integral of 1/((R^2+y^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( R ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d y

\frac{y}{R ^{2} ( R ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( R ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{R ^{2} sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{R ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{R ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{R ^{2}} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{R} y)

ein

= \frac{1}{R ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{R} y))

Vereinfache

\frac{1}{R ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{R} y)) : \frac{y}{R ^{2} ( R ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{y}{R ^{2} ( R ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{y}{R ^{2} ( R ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int (2 x + 1)^{2} - a^{2} d x

\int 2 x csc^{2} (6 x^{2}) d x

\int \frac{x + 6}{( x + 3 ) ( x + 5 )} d x

\int + \frac{8 x - 3}{12 x ^{2} - 7 x + 1} d x

\int \frac{4 cos ( x )}{( 3 + sin ( x ) ) ^{3}} d x