интеграл с 0 до 2 от sqrt(4x^2-8x+5)

Решение

\int_{0}^{2} 4 x^{2} - 8 x + 5 d x

5 + \frac{1}{4} ln (2 + 5) - \frac{1}{4} ln (- 2 + 5)

десятичными цифрами

2.95788 \dots

Шаги решения

\int_{0}^{2} 4 x^{2} - 8 x + 5 d x

Заполните квадрат

4 x^{2} - 8 x + 5 : 4 (x - 1)^{2} + 1

= \int_{0}^{2} 4 (x - 1)^{2} + 1 d x

Применить подстановку интеграла

= \int_{- 1}^{1} 4 u^{2} + 1 d u

Примените тригонометрическую подстановку

= \int_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} \frac{1}{2} sec^{3} (v) d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} sec^{3} (v) d v

Применить сокращение интеграла

= \frac{1}{2} ([\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2}]_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} + \frac{1}{2} \cdot \int_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} sec (v) d v)

\int_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} sec (v) d v = ln (2 + 5) - ln (- 2 + 5)

= \frac{1}{2} ([\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2}]_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} + \frac{1}{2} (ln (2 + 5) - ln (- 2 + 5)))

Упростите

\frac{1}{2} ([\frac{sec ^{2} ( v ) sin ( v )}{2}]_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} + \frac{1}{2} (ln (2 + 5) - ln (- 2 + 5))) : \frac{1}{2} ([\frac{1}{2} sec (v) tan (v)]_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} + \frac{1}{2} (ln (2 + 5) - ln (- 2 + 5)))

= \frac{1}{2} ([\frac{1}{2} sec (v) tan (v)]_{- a r c t a n (2)}^{a r c t a n (2)} + \frac{1}{2} (ln (2 + 5) - ln (- 2 + 5)))

Вычислить границы:

25

= \frac{1}{2} (25 + \frac{1}{2} (ln (2 + 5) - ln (- 2 + 5)))

После упрощения получаем

= 5 + \frac{1}{4} ln (2 + 5) - \frac{1}{4} ln (- 2 + 5)