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人気のある微分積分 >

integral from 0 to 3 of x^4(9-x^2)^{3/2}

解

\int_{0}^{3} x^{4} (9 - x^{2})^{\frac{3}{2}} d x

解

\frac{19683 π}{256}

+1

十進法表記

241.54675 \dots

解答ステップ

\int_{0}^{3} x^{4} (9 - x^{2})^{\frac{3}{2}} d x

三角関数による置換を適用する

= \int_{0}^{\frac{π}{2}} 6561 sin^{4} (u) cos^{4} (u) d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6561 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} (u) cos^{4} (u) d u

三角関数の公式を使用して書き換える

= 6561 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u))^{2} d u

拡張

sin^{4} (u) (1 - sin^{2} (u))^{2} : sin^{4} (u) - 2 sin^{6} (u) + sin^{8} (u)

= 6561 \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} (u) - 2 sin^{6} (u) + sin^{8} (u) d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6561 (\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} (u) d u - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 sin^{6} (u) d u + \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{8} (u) d u)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{4} (u) d u = \frac{3 π}{16}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 sin^{6} (u) d u = \frac{5 π}{16}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{8} (u) d u = \frac{35 π}{256}

= 6561 (\frac{3 π}{16} - \frac{5 π}{16} + \frac{35 π}{256})

簡素化

6561 (\frac{3 π}{16} - \frac{5 π}{16} + \frac{35 π}{256}) : \frac{19683 π}{256}

= \frac{19683 π}{256}

グラフ

人気の例

integral from 2 to 10 of (x^3+7x)/2

\int_{2}^{10} \frac{x ^{3} + 7 x}{2} d x

integral from-1 to 1 of (2x)/(x^2-1)

\int_{- 1}^{1} \frac{2 x}{x ^{2} - 1} d x

integral from 0 to pi/2 of-2cos(x)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 cos (x) d x

integral from 0 to 4 of x^2-4x+3

\int_{0}^{4} x^{2} - 4 x + 3 d x

integral from 2 to 4 of 2/(sqrt(x^2-4))

\int_{2}^{4} \frac{2}{x ^{2} - 4} d x