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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-sqrt(3)cos(x)=-1

Lösung

cos (2 x) - 3 cos (x) = - 1

Lösung

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - 3 cos (x) = - 1

Subtrahiere

- 1

von beiden Seiten

cos (2 x) - 3 cos (x) + 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos (2 x) - cos (x) 3

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 3 cos (x)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 3 cos (x) : 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 3 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x)

= 2 cos^{2} (x) - 3 cos (x)

2 cos^{2} (x) - cos (x) 3 = 0

Löse mit Substitution

2 cos^{2} (x) - cos (x) 3 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 u^{2} - u 3 = 0

2 u^{2} - u 3 = 0 : u = \frac{3}{2}, u = 0

2 u^{2} - u 3 = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 3 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 3, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 3

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 0

(- 3)^{2} = 3

(- 3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = (3)^{2}

= (3)^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

4 \cdot 2 \cdot 0 = 0

4 \cdot 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 3 - 0

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 0 = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 3}{2 \cdot 2} : \frac{3}{2}

\frac{- ( - 3 ) + 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere gleiche Elemente:

3 + 3 = 23

= \frac{2 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 3}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 3 ) - 3}{2 \cdot 2} : 0

\frac{- ( - 3 ) - 3}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 3}{2 \cdot 2}

Addiere gleiche Elemente:

3 - 3 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{0}{4}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{2}, u = 0

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = 0

cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = 0

cos (x) = \frac{3}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{3}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,tan(x)=-1

so l v e f or x, tan (x) = - 1

2sin(x)=3cos(x)

2 sin (x) = 3 cos (x)

cos(θ)= 5/11

cos (θ) = \frac{5}{11}

sin(t)=(sqrt(2))/2

sin (t) = \frac{2}{2}

tan(x)sin^2(x)=2tan(x)

tan (x) sin^{2} (x) = 2 tan (x)