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Beliebt Trigonometrie >

2sin^2(x)+1=4sin(x)

Lösung

2 sin^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

Lösung

x = 0.29725 \dots + 2 πn, x = π - 0.29725 \dots + 2 πn

Grad

x = 17.03124 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 162.96875 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 sin^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

Löse mit Substitution

2 sin^{2} (x) + 1 = 4 sin (x)

Angenommen:

sin (x) = u

2 u^{2} + 1 = 4 u

2 u^{2} + 1 = 4 u : u = \frac{2 + 2}{2}, u = \frac{2 - 2}{2}

2 u^{2} + 1 = 4 u

Verschiebe

4 u

auf die linke Seite

2 u^{2} + 1 = 4 u

Subtrahiere

4 u

von beiden Seiten

2 u^{2} + 1 - 4 u = 4 u - 4 u

Vereinfache

2 u^{2} + 1 - 4 u = 0

2 u^{2} + 1 - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 4 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 4, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 22

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 4^{2} - 8

4^{2} = 16

= 16 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 8 = 8

= 8

Primfaktorzerlegung von

8 : 2^{3}

8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2 2}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2 2}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2 2}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 4 ) + 2 2}{2 \cdot 2} : \frac{2 + 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 2 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 2 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 + 2 2}{4}

Faktorisiere

4 + 22 : 2 (2 + 2)

4 + 22

Schreibe um

= 2 \cdot 2 + 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 + 2)

= \frac{2 ( 2 + 2 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 + 2}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 2 2}{2 \cdot 2} : \frac{2 - 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 2 2}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 2 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4 - 2 2}{4}

Faktorisiere

4 - 22 : 2 (2 - 2)

4 - 22

Schreibe um

= 2 \cdot 2 - 22

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 - 2)

= \frac{2 ( 2 - 2 )}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 - 2}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{2 + 2}{2}, u = \frac{2 - 2}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{2 + 2}{2}, sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

sin (x) = \frac{2 + 2}{2}, sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

sin (x) = \frac{2 + 2}{2} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{2 + 2}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{2 - 2}{2} : x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{2 - 2}{2}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{2 - 2}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 0.29725 \dots + 2 πn, x = π - 0.29725 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

1/4 =cos(x)

\frac{1}{4} = cos (x)

cos(2x)+3cos(x)=-2

cos (2 x) + 3 cos (x) = - 2

4tan^2(θ)+16tan(θ)=7tan(θ)-2

4 tan^{2} (θ) + 16 tan (θ) = 7 tan (θ) - 2

10(1-cos(θ))=sin^2(θ)

10 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

cos(2x)=2-5cos(x)

cos (2 x) = 2 - 5 cos (x)