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Beliebt Trigonometrie >

10(1-cos(θ))=sin^2(θ)

Lösung

10 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Lösung

θ = 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

10 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Subtrahiere

sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

10 (1 - cos (θ)) - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 10

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 10

Vereinfache

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 10 : cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) + 9

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 10

= - (1 - cos^{2} (θ)) + 10 (1 - cos (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 10

Multipliziere aus

10 (1 - cos (θ)) : 10 - 10 cos (θ)

10 (1 - cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 10, b = 1, c = cos (θ)

= 10 \cdot 1 - 10 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

10 \cdot 1 = 10

= 10 - 10 cos (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + 10 - 10 cos (θ)

Vereinfache

- 1 + cos^{2} (θ) + 10 - 10 cos (θ) : cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) + 9

- 1 + cos^{2} (θ) + 10 - 10 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) - 1 + 10

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 10 = 9

= cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) + 9

= cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) + 9

= cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) + 9

9 + cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

9 + cos^{2} (θ) - 10 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

9 + u^{2} - 10 u = 0

9 + u^{2} - 10 u = 0 : u = 9, u = 1

9 + u^{2} - 10 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 10 u + 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 10 u + 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 10, c = 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm ( - 10 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9}{2 \cdot 1}

(- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 8

(- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 10)^{2} = 1 0^{2}

= 1 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 9 = 36

= 1 0^{2} - 36

1 0^{2} = 100

= 100 - 36

Subtrahiere die Zahlen:

100 - 36 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 10 ) \pm 8}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 10 ) + 8}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 10 ) - 8}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 10 ) + 8}{2 \cdot 1} : 9

\frac{- ( - 10 ) + 8}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 + 8}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

10 + 8 = 18

= \frac{18}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{18}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{18}{2} = 9

= 9

u = \frac{- ( - 10 ) - 8}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 10 ) - 8}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{10 - 8}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

10 - 8 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 9, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 9, cos (θ) = 1

cos (θ) = 9, cos (θ) = 1

cos (θ) = 9 :

Keine Lösung

cos (θ) = 9

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2x)=2-5cos(x)

cos (2 x) = 2 - 5 cos (x)

tan(x-20)=cot(x+45)

tan (x - 20) = cot (x + 45)

sin(z)=4

sin (z) = 4

-6sqrt(3)=-9csc(3x)

- 63 = - 9 csc (3 x)

1+sin(θ)=1+cos(θ)

1 + sin (θ) = 1 + cos (θ)