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Beliebt Trigonometrie >

5-sin(θ)=cos(2θ)

Lösung

5 - sin (θ) = cos (2 θ)

Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r θ \in R

Schritte zur Lösung

5 - sin (θ) = cos (2 θ)

Subtrahiere

cos (2 θ)

von beiden Seiten

5 - sin (θ) - cos (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 - cos (2 θ) - sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 5 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ)

Vereinfache

5 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ) : 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 4

5 - (1 - 2 sin^{2} (θ)) - sin (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ)) : - 1 + 2 sin^{2} (θ)

- (1 - 2 sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (θ)

= 5 - 1 + 2 sin^{2} (θ) - sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 1 = 4

= 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 4

= 2 sin^{2} (θ) - sin (θ) + 4

4 - sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

4 - sin (θ) + 2 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

4 - u + 2 u^{2} = 0

4 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{4} + i \frac{31}{4}, u = \frac{1}{4} - i \frac{31}{4}

4 - u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4}{2 \cdot 2}

Vereinfache

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4 : 31 i

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 4

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

4 \cdot 2 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 4 = 32

= 32

= 1 - 32

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 32 = - 31

= - 31

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 31 = - 1 31

= - 1 31

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 31 i

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 31 i}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 31 i}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 31 i}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 31 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} + i \frac{31}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 31 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 31 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 + 31 i}{4}

Schreibe

\frac{1 + 31 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{4} + \frac{31}{4} i

\frac{1 + 31 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 + 31 i}{4} = \frac{1}{4} + \frac{31 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{31 i}{4}

= \frac{1}{4} + \frac{31}{4} i

u = \frac{- ( - 1 ) - 31 i}{2 \cdot 2} : \frac{1}{4} - i \frac{31}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 31 i}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 31 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 - 31 i}{4}

Schreibe

\frac{1 - 31 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

\frac{1}{4} - \frac{31}{4} i

\frac{1 - 31 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{1 - 31 i}{4} = \frac{1}{4} - \frac{31 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{31 i}{4}

= \frac{1}{4} - \frac{31}{4} i

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{4} + i \frac{31}{4}, u = \frac{1}{4} - i \frac{31}{4}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{31}{4}, sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{31}{4}

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{31}{4}, sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{31}{4}

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{31}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1}{4} + i \frac{31}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{31}{4} :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{1}{4} - i \frac{31}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r θ \in R

Graph

Beliebte Beispiele

8sin(θ)+4sqrt(3)=0

8 sin (θ) + 43 = 0

solvefor x,sin(x)=(sqrt(3))/2

so l v e f or x, sin (x) = \frac{3}{2}

tan(α)=2

tan (α) = 2

sin(2x+pi/4)=(sqrt(2))/2

sin (2 x + \frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cot(θ)= 2/3

cot (θ) = \frac{2}{3}