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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(θ)-4cos(θ)-3=0

Lösung

4 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) - 3 = 0

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

+1

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) - 3 = 0

Löse mit Substitution

4 cos^{2} (θ) - 4 cos (θ) - 3 = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

4 u^{2} - 4 u - 3 = 0

4 u^{2} - 4 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2}

4 u^{2} - 4 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 4 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 4, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 3 )}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3) = 8

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 3 = 48

= 4^{2} + 48

4^{2} = 16

= 16 + 48

Addiere die Zahlen:

16 + 48 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 8}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 8}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 8}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 ) + 8}{2 \cdot 4} : \frac{3}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 8}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 8}{2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

4 + 8 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{12}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{3}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 8}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 8}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 8}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 8 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{3}{2}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{3}{2}, cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (θ) = \frac{3}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4sin(x)+3cos(x)=2

4 sin (x) + 3 cos (x) = 2

sec^2(x)+7tan(x)-9=0

sec^{2} (x) + 7 tan (x) - 9 = 0

sin (x) = - 0.6

5+2sin^2(x)=3sin(x)+4

5 + 2 sin^{2} (x) = 3 sin (x) + 4

sin^2(2x)+cos(2x)=1

sin^{2} (2 x) + cos (2 x) = 1