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人気のある三角関数 >

証明する (sin(4θ)+sin(2θ))/(cos(4θ)+cos(2θ))=tan(3θ)

解

証明する

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )} = tan (3 θ)

解

真

解答ステップ

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )} = tan (3 θ)

左側を操作する

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{cos ( 4 θ ) + cos ( 2 θ )}

和・積の公式を使用する:

cos (s) + cos (t) = 2 cos (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}

簡素化

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )} : \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

\frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}

2 cos (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2}) = 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 cos (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

類似した元を足す:

2 θ + 4 θ = 6 θ

= 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

\frac{2 θ - 4 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{2 θ - 4 θ}{2}

類似した元を足す:

2 θ - 4 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 cos (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{sin ( 4 θ ) + sin ( 2 θ )}{2 cos ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}

負角の公式を使用する:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( \frac{2 θ}{2} ) cos ( \frac{6 θ}{2} )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( \frac{6 θ}{2} )}

数を割る:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 2 θ ) + sin ( 4 θ )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

和・積の公式を使用する:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

簡素化

\frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )} : \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

\frac{2 sin ( \frac{2 θ + 4 θ}{2} ) cos ( \frac{2 θ - 4 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

2 sin (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2}) = 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

2 sin (\frac{2 θ + 4 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

類似した元を足す:

2 θ + 4 θ = 6 θ

= 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (\frac{2 θ - 4 θ}{2})

\frac{2 θ - 4 θ}{2} = - \frac{2 θ}{2}

\frac{2 θ - 4 θ}{2}

類似した元を足す:

2 θ - 4 θ = - 2 θ

= \frac{- 2 θ}{2}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 θ}{2}

= 2 sin (\frac{6 θ}{2}) cos (- \frac{2 θ}{2})

= \frac{2 sin ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{2 cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ( \frac{6 θ}{2} ) cos ( - \frac{2 θ}{2} )}{cos ( θ ) cos ( 3 θ )}

負角の公式を使用する:

cos (- x) = cos (x)

= \frac{cos ( \frac{2 θ}{2} ) sin ( \frac{6 θ}{2} )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ( θ ) sin ( \frac{6 θ}{2} )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

数を割る:

\frac{6}{2} = 3

= \frac{cos ( θ ) sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ ) cos ( θ )}

共通因数を約分する:

cos (θ)

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

= \frac{sin ( 3 θ )}{cos ( 3 θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (3 θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する (sec(x)+tan(x))^2=((csc(x)+1))/(csc(x)-1)

p ro v e (sec (x) + tan (x))^{2} = \frac{( csc ( x ) + 1 )}{csc ( x ) - 1}

証明する (sin(x))/(-cos(x))=sin(x)+tan(x)

p ro v e \frac{sin ( x )}{- cos ( x )} = sin (x) + tan (x)

証明する (cot(X)-csc(X))(cot(X)+csc(X))=-1

p ro v e (cot (X) - csc (X)) (cot (X) + csc (X)) = - 1

証明する (2sin(2θ)cos(θ))/(2sin(2θ))=cos(θ)

p ro v e \frac{2 sin ( 2 θ ) cos ( θ )}{2 sin ( 2 θ )} = cos (θ)

証明する-sin(2x)+cos(2x)=1

p ro v e - sin (2 x) + cos (2 x) = 1