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beweisen cos^2(u)= 1/2+1/2 cos(2u)

Lösung

beweisen

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Wahr

Schritte zur Lösung

cos^{2} (u) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos (2 u)

Faktorisiere

\frac{1}{2} + cos (2 u) \frac{1}{2} : \frac{1}{2} (1 + cos (2 u))

\frac{1}{2} + cos (2 u) \frac{1}{2}

Klammere gleiche Terme aus

\frac{1}{2}

= \frac{1}{2} (1 + cos (2 u))

= (1 + cos (2 u)) \frac{1}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 + cos (2 u)) \frac{1}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= (1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2}

Vereinfache

(1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2} : cos^{2} (u)

(1 + 2 cos^{2} (u) - 1) \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( 1 + 2 cos ^{2} ( u ) - 1 )}{2}

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (u) - 1) = 2 cos^{2} (u)

1 \cdot (1 + 2 cos^{2} (u) - 1)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (u) - 1 : 2 cos^{2} (u)

1 + 2 cos^{2} (u) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (u) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (u)

= 1 \cdot 2 cos^{2} (u)

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= 2 cos^{2} (u)

= \frac{2 cos ^{2} ( u )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

= cos^{2} (u)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (θ) = sec (θ) - \frac{tan ^{2} ( θ )}{sec ( θ )}

p ro v e tan (\frac{θ}{2}) = csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

p ro v e 4 + 4 cos (2 x) = 8 cos^{2} (x)

p ro v e \frac{sec ( θ ) csc ( θ )}{2} = csc (2 θ)

p ro v e sin (\frac{π}{2} + x) = - cos (x)