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beweisen sec^2(x)sin^2(x)= 1/(cot^2(x))

Lösung

beweisen

sec^{2} (x) sin^{2} (x) = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (x) sin^{2} (x) = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{cot ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

\frac{1}{( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} = \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{sin ^{2} ( x )}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{sin ^{2} ( x )}{( \frac{1}{s e c ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sec ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{\frac{1}{s e c ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( x ) sec ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sin^{2} (x) sec^{2} (x)

sin^{2} (x) sec^{2} (x)

sin^{2} (x) sec^{2} (x)

= sec^{2} (x) sin^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{csc ( θ )}{1 + tan ( θ )} = cot^{2} (θ)

p ro v e - \frac{- 1 + sin ^{2} ( θ )}{sin ^{2} ( θ )} = cot^{2} (θ)

p ro v e cos (2 A + A) = - 3 cos (A) + 4 cos^{3} (A)

p ro v e (sin^{2} (x) + cos^{2} (x))^{3} = 1^{3}

p ro v e cos (- x) \cdot cot (x) + sin (x) = csc (x)