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Beliebt Trigonometrie >

beweisen (sin(θ))/(1+cos(θ))+cot(θ)=csc(θ)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} + cot (θ) = csc (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} + cot (θ) = csc (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} + cot (θ)

Drücke mit sin, cos aus

cot (θ) + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

Vereinfache

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} : \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

sin (θ), 1 + cos (θ) : sin (θ) (cos (θ) + 1)

sin (θ), 1 + cos (θ)

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

sin (θ)

oder

1 + cos (θ)

auftauchen.

= sin (θ) (cos (θ) + 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

sin (θ) (cos (θ) + 1)

Für

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (θ) + 1

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

Für

\frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )} : \frac{1}{sin ( θ )}

\frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

Multipliziere aus

1 - cos^{2} (θ) + (1 + cos (θ)) cos (θ) : cos (θ) + 1

1 - cos^{2} (θ) + (1 + cos (θ)) cos (θ)

= 1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) (1 + cos (θ))

Multipliziere aus

cos (θ) (1 + cos (θ)) : cos (θ) + cos^{2} (θ)

cos (θ) (1 + cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (θ), b = 1, c = cos (θ)

= cos (θ) \cdot 1 + cos (θ) cos (θ)

= 1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

Vereinfache

1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ) : cos (θ) + cos^{2} (θ)

1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

1 \cdot cos (θ)

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= cos (θ) + cos^{2} (θ)

= cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ) : cos (θ) + 1

1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 0

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ) + 1

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

Vereinfache

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= csc (θ)

csc (θ)

csc (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen tan(x)csc(x)=tan(x)sin(x)+cos(x)

p ro v e tan (x) csc (x) = tan (x) sin (x) + cos (x)

beweisen (cos((5*pi/3)/4))=(cos(5 pi/(12)))

p ro v e (cos (\frac{5 \cdot \frac{π}{3}}{4})) = (cos (5 \frac{π}{12}))

beweisen tan(21)=2tan(t)

p ro v e tan (2 1^{\circ}) = 2 tan (t)

beweisen tan^2(x)+sin^2(x)=1

p ro v e tan^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

beweisen sin^2(θ)+cos^2(θ)=sec^2(θ)

p ro v e sin^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = sec^{2} (θ)