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Beliebt Trigonometrie >

1/(sin^2(x))-1/(cos^2(x))>= 8/3

Lösung

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

Lösung

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn or π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Intervall-Notation

(2 πn, \frac{π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{5 π}{6} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{7 π}{6} + 2 πn] \cup [\frac{11 π}{6} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Dezimale

2 πn < x \leq 0.52359 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn \leq x < 3.14159 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x \leq 3.66519 \dots + 2 πn or 5.75958 \dots + 2 πn \leq x < 6.28318 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

Verwende die folgenden Identitäten:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Deshalb

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{1 - sin ^{2} ( x )} \geq \frac{8}{3}

Angenommen:

v = sin (x)

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3} : - \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

Rewrite in standard form

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} \geq \frac{8}{3}

Subtrahiere

\frac{8}{3}

von beiden Seiten

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} \geq \frac{8}{3} - \frac{8}{3}

Vereinfache

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} \geq 0

Vereinfache

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3} : \frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{1 - v ^{2}} - \frac{8}{3}

Faktorisiere

- v^{2} + 1 : - (v + 1) (v - 1)

- v^{2} + 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (v^{2} - 1)

Faktorisiere

v^{2} - 1 : (v + 1) (v - 1)

v^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= v^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

v^{2} - 1^{2} = (v + 1) (v - 1)

= (v + 1) (v - 1)

= - (v + 1) (v - 1)

= \frac{1}{v ^{2}} - \frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{8}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

v^{2}, - (v + 1) (v - 1), 3 : 3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

v^{2}, - (v + 1) (v - 1), 3

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die in mindestens einem der faktoriserten Ausdrücke vorkommt.

= 3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

3 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Für

\frac{1}{v ^{2}} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

3 (v + 1) (v - 1)

\frac{1}{v ^{2}} = \frac{1 \cdot 3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{v ^{2} \cdot 3 ( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Für

\frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

- 3 v^{2}

\frac{1}{- ( v + 1 ) ( v - 1 )} = \frac{1 \cdot ( - 3 v ^{2} )}{( - ( v + 1 ) ( v - 1 ) ) ( - 3 v ^{2} )} = \frac{- 3 v ^{2}}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Für

\frac{8}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

v^{2} (v + 1) (v - 1)

\frac{8}{3} = \frac{8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{- 3 v ^{2}}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} - \frac{8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 ) - ( - 3 v ^{2} ) - 8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 ( v + 1 ) ( v - 1 ) + 3 v ^{2} - 8 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Multipliziere aus

3 (v + 1) (v - 1) + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1) : - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

3 (v + 1) (v - 1) + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Multipliziere aus

3 (v + 1) (v - 1) : 3 v^{2} - 3

Multipliziere aus

(v + 1) (v - 1) : v^{2} - 1

(v + 1) (v - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = v, b = 1

= v^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= v^{2} - 1

= 3 (v^{2} - 1)

Multipliziere aus

3 (v^{2} - 1) : 3 v^{2} - 3

3 (v^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = v^{2}, c = 1

= 3 v^{2} - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 3 v^{2} - 3

= 3 v^{2} - 3

= 3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{2} (v + 1) (v - 1)

Multipliziere aus

- 8 v^{2} (v + 1) (v - 1) : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

Multipliziere aus

(v + 1) (v - 1) : v^{2} - 1

(v + 1) (v - 1)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = v, b = 1

= v^{2} - 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= v^{2} - 1

= - 8 v^{2} (v^{2} - 1)

Multipliziere aus

- 8 v^{2} (v^{2} - 1) : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

- 8 v^{2} (v^{2} - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 8 v^{2}, b = v^{2}, c = 1

= - 8 v^{2} v^{2} - (- 8 v^{2}) \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2}

Vereinfache

- 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2} : - 8 v^{4} + 8 v^{2}

- 8 v^{2} v^{2} + 8 \cdot 1 \cdot v^{2}

8 v^{2} v^{2} = 8 v^{4}

8 v^{2} v^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

v^{2} v^{2} = v^{2 + 2}

= 8 v^{2 + 2}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= 8 v^{4}

8 \cdot 1 \cdot v^{2} = 8 v^{2}

8 \cdot 1 \cdot v^{2}

Multipliziere die Zahlen:

8 \cdot 1 = 8

= 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= - 8 v^{4} + 8 v^{2}

= 3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2}

Vereinfache

3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2} : - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

3 v^{2} - 3 + 3 v^{2} - 8 v^{4} + 8 v^{2}

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 8 v^{4} + 3 v^{2} + 3 v^{2} + 8 v^{2} - 3

Addiere gleiche Elemente:

3 v^{2} + 3 v^{2} + 8 v^{2} = 14 v^{2}

= - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

= - 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

= \frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

Multipliziere beide Seiten mit

3

\frac{3 ( - 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3 )}{3 v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0 \cdot 3

Vereinfache

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

Faktorisiere

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} : \frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- 8 v ^{4} + 14 v ^{2} - 3}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Faktorisiere

- 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3 : - (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

- 8 v^{4} + 14 v^{2} - 3

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (8 v^{4} - 14 v^{2} + 3)

Faktorisiere

8 v^{4} - 14 v^{2} + 3 : (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

8 v^{4} - 14 v^{2} + 3

Angenommen

u = v^{2}

= 8 u^{2} - 14 u + 3

Faktorisiere

8 u^{2} - 14 u + 3 : (4 u - 1) (2 u - 3)

8 u^{2} - 14 u + 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

8 u^{2} - 14 u + 3

Definition

Faktoren von

24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

24

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

24 : 2, 2, 2, 3

24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Primfaktoren von

24 : 4, 8, 6, 12

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

4, 8, 6, 12

4, 8, 6, 12

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

24

selbst

1, 24

Die Faktoren von

24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Negative Faktoren von

24 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 24

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 8, - 12, - 24

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 24,

prüfe, ob

u + v = - 14

Prüfe

u = 1, v = 24 : u * v = 24, u + v = 25 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = 12 : u * v = 24, u + v = 14 \Rightarrow

Falsch

u = - 2, v = - 12

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(8 u^{2} - 2 u) + (- 12 u + 3)

= (8 u^{2} - 2 u) + (- 12 u + 3)

Klammere

2 u

aus

8 u^{2} - 2 u

aus

: 2 u (4 u - 1)

8 u^{2} - 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 8 uu - 2 u

Schreibe

8

um:

2 \cdot 4

= 2 \cdot 4 uu - 2 u

Klammere gleiche Terme aus

2 u

= 2 u (4 u - 1)

Klammere

- 3

aus

- 12 u + 3

aus

: - 3 (4 u - 1)

- 12 u + 3

Schreibe

12

um:

3 \cdot 4

= - 3 \cdot 4 u + 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (4 u - 1)

= 2 u (4 u - 1) - 3 (4 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

4 u - 1

= (4 u - 1) (2 u - 3)

= (4 u - 1) (2 u - 3)

Setze in

u = v^{2}

ein

= (4 v^{2} - 1) (2 v^{2} - 3)

Faktorisiere

4 v^{2} - 1 : (2 v + 1) (2 v - 1)

4 v^{2} - 1

Schreibe

4 v^{2} - 1

um:

(2 v)^{2} - 1^{2}

4 v^{2} - 1

Schreibe

4

um:

2^{2}

= 2^{2} v^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= 2^{2} v^{2} - 1^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

= (2 v)^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - 1^{2} = (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v^{2} - 3)

Faktorisiere

2 v^{2} - 3 : (2 v + 3) (2 v - 3)

2 v^{2} - 3

Schreibe

2 v^{2} - 3

um:

(2 v)^{2} - (3)^{2}

2 v^{2} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (2)^{2} v^{2} - (3)^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} v^{2} = (2 v)^{2}

= (2 v)^{2} - (3)^{2}

= (2 v)^{2} - (3)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 v)^{2} - (3)^{2} = (2 v + 3) (2 v - 3)

= (2 v + 3) (2 v - 3)

= (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

= - (2 v + 1) (2 v - 1) (2 v + 3) (2 v - 3)

= \frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

\frac{- ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \geq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

\frac{( - ( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 ) ) ( - 1 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \leq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

\frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} \leq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )}

Finde die Vorzeichen von

2 v + 1

2 v + 1 = 0 : v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 v + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 v + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 v = - 1

2 v = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 v = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

v = - \frac{1}{2}

v = - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0 : v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 v + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 v + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

2 v < - 1

2 v < - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 v < - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

v < - \frac{1}{2}

v < - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0 : v > - \frac{1}{2}

2 v + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 v + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 v + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

2 v > - 1

2 v > - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 v > - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

v > - \frac{1}{2}

v > - \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

2 v - 1

2 v - 1 = 0 : v = \frac{1}{2}

2 v - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 v - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 v - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 v = 1

2 v = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 v = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

v = \frac{1}{2}

v = \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0 : v < \frac{1}{2}

2 v - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 v - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 v - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 v < 1

2 v < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 v < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

v < \frac{1}{2}

v < \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0 : v > \frac{1}{2}

2 v - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 v - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 v - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 v > 1

2 v > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 v > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

v > \frac{1}{2}

v > \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

2 v + 3

2 v + 3 = 0 : v = - \frac{3}{2}

2 v + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 v + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 v + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

2 v = - 3

2 v = - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 v = - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} = \frac{- 3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= v

Vereinfache

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

v = - \frac{3}{2}

2 v + 3 < 0 : v < - \frac{3}{2}

2 v + 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 v + 3 < 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 v + 3 - 3 < 0 - 3

Vereinfache

2 v < - 3

2 v < - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 v < - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} < \frac{- 3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} < \frac{- 3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= v

Vereinfache

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

v < - \frac{3}{2}

2 v + 3 > 0 : v > - \frac{3}{2}

2 v + 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 v + 3 > 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

2 v + 3 - 3 > 0 - 3

Vereinfache

2 v > - 3

2 v > - 3

Teile beide Seiten durch

2

2 v > - 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} > \frac{- 3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} > \frac{- 3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= v

Vereinfache

\frac{- 3}{2} : - \frac{3}{2}

\frac{- 3}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{2}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

v > - \frac{3}{2}

Finde die Vorzeichen von

2 v - 3

2 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{2}

2 v - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 v - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 v - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 v = 3

2 v = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 v = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= v

Vereinfache

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

v = \frac{3}{2}

2 v - 3 < 0 : v < \frac{3}{2}

2 v - 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 v - 3 < 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 v - 3 + 3 < 0 + 3

Vereinfache

2 v < 3

2 v < 3

Teile beide Seiten durch

2

2 v < 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} < \frac{3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} < \frac{3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= v

Vereinfache

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

v < \frac{3}{2}

2 v - 3 > 0 : v > \frac{3}{2}

2 v - 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 v - 3 > 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 v - 3 + 3 > 0 + 3

Vereinfache

2 v > 3

2 v > 3

Teile beide Seiten durch

2

2 v > 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 v}{2} > \frac{3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} > \frac{3}{2}

Vereinfache

\frac{2 v}{2} : v

\frac{2 v}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= v

Vereinfache

\frac{3}{2} : \frac{3}{2}

\frac{3}{2}

Fasse gleiche Potenzen zusammen:

\frac{x}{y} = \frac{x}{y}

= \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

v > \frac{3}{2}

Finde die Vorzeichen von

v^{2}

v^{2} = 0 : v = 0

v^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

v = 0

v^{2} > 0 : v < 0 or v > 0

v^{2} > 0

Für

u^{n} > 0

, wenn

n

ist gerade dann

u < 0

u > 0

v < 0 or v > 0

Finde die Vorzeichen von

v + 1

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

v + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

v = - 1

v = - 1

v + 1 < 0 : v < - 1

v + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

v + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

v < - 1

v < - 1

v + 1 > 0 : v > - 1

v + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

v + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

v > - 1

v > - 1

Finde die Vorzeichen von

v - 1

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

v - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

v = 1

v = 1

v - 1 < 0 : v < 1

v - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

v - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

v < 1

v < 1

v - 1 > 0 : v > 1

v - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

v - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

v > 1

v > 1

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

v^{2} (v + 1) (v - 1) : v = 0, v = - 1, v = 1

v^{2} (v + 1) (v - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

v = 0 or v + 1 = 0 or v - 1 = 0

Löse

v + 1 = 0 : v = - 1

v + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

v + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

v = - 1

v = - 1

Löse

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

v - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

v - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

v = 1

v = 1

Die Lösungen sind

v = 0, v = - 1, v = 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 v + 1 2 v - 1 2 v + 3 2 v - 3 v^{2} v + 1 v - 1 \frac{( 2 v + 1 ) ( 2 v - 1 ) ( 2 v + 3 ) ( 2 v - 3 )}{v ^{2} ( v + 1 ) ( v - 1 )} v < - \frac{3}{2} - - - - + - - + v = - \frac{3}{2} - - 0 - + - - 0 - \frac{3}{2} < v < - 1 - - + - + - - - v = - 1 - - + - + 0 - Unbestimmt - 1 < v < - \frac{1}{2} - - + - + + - + v = - \frac{1}{2} 0 - + - + + - 0 - \frac{1}{2} < v < 0 + - + - + + - - v = 0 + - + - 0 + - Unbestimmt 0 < v < \frac{1}{2} + - + - + + - - v = \frac{1}{2} + 0 + - + + - 0 \frac{1}{2} < v < 1 + + + - + + - + v = 1 + + + - + + 0 Unbestimmt 1 < v < \frac{3}{2} + + + - + + + - v = \frac{3}{2} + + + 0 + + + 0 v > \frac{3}{2} + + + + + + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

v = - \frac{3}{2} or - \frac{3}{2} < v < - 1 or v = - \frac{1}{2} or - \frac{1}{2} < v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2} or v = \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2} or v = \frac{3}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2} or v = \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

v = - \frac{3}{2}

oder

- \frac{3}{2} < v < - 1

- \frac{3}{2} \leq v < - 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{3}{2} \leq v < - 1

oder

v = - \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or v = - \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or v = - \frac{1}{2}

oder

- \frac{1}{2} < v < 0

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0

oder

0 < v < \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v < \frac{1}{2}

oder

v = \frac{1}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2}

oder

1 < v < \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v < \frac{3}{2}

oder

v = \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq v < - 1 or - \frac{1}{2} \leq v < 0 or 0 < v \leq \frac{1}{2} or 1 < v \leq \frac{3}{2}

Setze in

v = sin (x)

ein

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1 or - \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0 or 0 < sin (x) \leq \frac{1}{2} or 1 < sin (x) \leq \frac{3}{2}

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1 :

Falsch für alle

x \in R

- \frac{3}{2} \leq sin (x) < - 1

Wenn

a \leq u < b

dann

a \leq u and u < b

- \frac{3}{2} \leq sin (x) and sin (x) < - 1

- \frac{3}{2} \leq sin (x) :

Wahr für alle

x \in R

- \frac{3}{2} \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq - \frac{3}{2}

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq - \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq - \frac{3}{2}

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

sin (x) < - 1 :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) < - 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y < - 1

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

Wahr für alle

x \in R

und

Falsch für alle

x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0 : π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x) < 0

Wenn

a \leq u < b

dann

a \leq u and u < b

- \frac{1}{2} \leq sin (x) and sin (x) < 0

- \frac{1}{2} \leq sin (x) : - \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

- \frac{1}{2} \leq sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) \geq - \frac{1}{2}

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

Vereinfache

π - arcsin (- \frac{1}{2}) : \frac{7 π}{6}

π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= π - (- \frac{π}{6})

Vereinfache

π - (- \frac{π}{6})

Wende Regel an

- (- a) = a

= π + \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 + π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

6 π + π = 7 π

= \frac{7 π}{6}

= \frac{7 π}{6}

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Vereinfache

- π + 2 πn < x < 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

0 < sin (x) \leq \frac{1}{2} : 2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn

0 < sin (x) \leq \frac{1}{2}

Wenn

a < u \leq b

dann

a < u and u \leq b

0 < sin (x) and sin (x) \leq \frac{1}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) > 0

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Vereinfache

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Vereinfache

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2} : - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq \frac{1}{2}

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (\frac{1}{2}) : - \frac{7 π}{6}

- π - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{6}

Vereinfache

- π - \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 - π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- 6 π - π = - 7 π

= \frac{- 7 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{7 π}{6}

= - \frac{7 π}{6}

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

- \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{7 π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{π}{6} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn

1 < sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Falsch für alle

x \in R

1 < sin (x) \leq \frac{3}{2}

Wenn

a < u \leq b

dann

a < u and u \leq b

1 < sin (x) and sin (x) \leq \frac{3}{2}

1 < sin (x) :

Falsch für alle

x \in R

1 < sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) > 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y > 1

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2} :

Wahr für alle

x \in R

sin (x) \leq \frac{3}{2}

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq \frac{3}{2}

und

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

Falsch für alle

x \in R

und

Wahr für alle

x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or (π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn) or (2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn) or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

2 πn < x \leq \frac{π}{6} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x < π + 2 πn or π + 2 πn < x \leq \frac{7 π}{6} + 2 πn or \frac{11 π}{6} + 2 πn \leq x < 2 π + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos(x)>= sin(x)

cos (x) \geq sin (x)

sin(x)<1

sin (x) < 1

tan(x)<0.7

tan (x) < 0.7

sin(2x)>0

sin (2 x) > 0

sin(x)>= 1/2

sin (x) \geq \frac{1}{2}