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Beliebt Trigonometrie >

sin(2x)>cos(x)

Lösung

sin (2 x) > cos (x)

Lösung

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Dezimale

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.61799 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

sin (2 x) > cos (x)

Verschiebe

cos (x)

auf die linke Seite

sin (2 x) > cos (x)

Subtrahiere

cos (x)

von beiden Seiten

sin (2 x) - cos (x) > cos (x) - cos (x)

sin (2 x) - cos (x) > 0

sin (2 x) - cos (x) > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

sin (2 x) = 2 cos (x) sin (x)

- cos (x) + 2 cos (x) sin (x) > 0

Periodizität von

- cos (x) + 2 cos (x) sin (x) : 2 π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

cos (x), 2 cos (x) sin (x)

Periodizität von

cos (x) : 2 π

Die Periodizität von

cos (x)

ist

2 π

= 2 π

Periodizität von

2 cos (x) sin (x) : π

2 cos (x) sin (x)

besteht aus den folgenden Funktionen und Perioden:

cos (x)

mit Periodizität von

2 π

Die zusammengesetzte Periodizität ist:

π

Kombiniere Perioden:

2 π, π

= 2 π

Faktorisiere

- cos (x) + 2 cos (x) sin (x) : cos (x) (2 sin (x) - 1)

- cos (x) + 2 cos (x) sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

cos (x)

= cos (x) (- 1 + 2 sin (x))

cos (x) (2 sin (x) - 1) > 0

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Stelle

cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

nach

0 \leq x < 2 π

cos (x) (2 sin (x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} or x = \frac{3 π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

2 sin (x) - 1 = 0 : x = \frac{π}{6} or x = \frac{5 π}{6}

2 sin (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 sin (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 sin (x) = 1

2 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x) = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x )}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

Kombiniere alle Lösungen

\frac{π}{6} or \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} or \frac{3 π}{2}

Die Intervalle zwischen den Nullstellen

0 < x < \frac{π}{6}, \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6}, \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

cos (x) 2 sin (x) - 1 cos (x) (2 sin (x) - 1) x = 0 + - - 0 < x < \frac{π}{6} + - - x = \frac{π}{6} + 00 \frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} 0 + 0 \frac{π}{2} < x < \frac{5 π}{6} - + - x = \frac{5 π}{6} - 00 \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2} - - + x = \frac{3 π}{2} 0 - 0 \frac{3 π}{2} < x < 2 π + - - x = 2 π + - -

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

\frac{π}{6} < x < \frac{π}{2} or \frac{5 π}{6} < x < \frac{3 π}{2}

Verwende die Periodizität von

- cos (x) + 2 cos (x) sin (x)

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{5 π}{6} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cos(x)<= 1

cos (x) \leq 1

sec^2(x)<= 4/3

sec^{2} (x) \leq \frac{4}{3}

cos(x)>(sqrt(3))/2

cos (x) > \frac{3}{2}

sin^2(x)< 1/2

sin^{2} (x) < \frac{1}{2}

sin(x)<= 1

sin (x) \leq 1